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广西钦州市第四中学2026年春季学期高二年级3月份考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他
答案标号。四答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40分）
1．角 A 的一边上有 4个点，另一边上有 5个点，连同角的顶点共 10个点，以这 10个点为顶点，可做三角形的个数
为（ ）
A． B． C． D．
2．某晚会由 4个歌舞节目和 2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表
演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A．144 B．288 C．480 D．672
3．若 ，则 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．春节期间，某家庭准备了 5个不同的马年新春红包，全部装入 3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装 1个红包，
则不同的装法种数是（ ）
A．90 B．150 C．240 D．300
5．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放 个、 个、 个花盆，形成三角形排列，
其中有虚线连接的 个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，
且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克 牛顿于 1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在 11世纪，北宋
数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在 的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
7．由 组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ）
A．300 B．360 C．420 D．480
8． 的展开式中的常数项为（ ）
A．60 B．120 C．160 D．240
二、多选题（共 3小题，每小题 6分，共 18分）
9．数字 1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为 ，第二、三行中的最大数分别为 ，第二、三
行中的最小数分别为 ，则（ ）
A．排列总数为 720个 B． 的概率为 C． 的概率为 D．满足 的排列有 120个
10．现有 6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙两人，每人 3本，有 20种分法 B．分给甲、乙两人，一人 4本，一人 2本，有 15种分法
C．分给甲、乙每人各 2本，分给丙、丁每人各 1本，有 180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各 2本，另两人各 1本，有 2160种分法
11．若 ， ， 为常数，则（ ）
A． B．当 时， C．当 时， D．当 时，
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．在 的展开式中，x的系数是______．
13．3名学生和 2名老师站成一排合影，则 3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答）
14．小李从网上选了 4道不同的 A型题和 2道不同的 B型题，现将这 6道题组成一份练习题．要求 B型题不相邻且前
3道题中至少有 1道 B型题，则 6道题不同的安排顺序有________种．
四、解答题（共 5小题，共 77分）
15．2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多
市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥
七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)；
(1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法
(2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种
(3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种
16．已知 展开式共有 11项.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
17．某学校组织学科竞赛集训与选拔工作.
(1)组委会将 13个相同的集训推荐名额分配给 6个参赛小组，每个小组至少分配 1个名额，共有多少种不同的分配方法？
(2)现有 6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排 1名指导老师，每名指导老师都只能参
加一项工作，共有多少种不同的分配方法？
(3)学科竞赛集训与选拔工作结束后，10名工作人员（包含指导教师甲、乙、丙、丁、戊、戌）站成一排合影留念，其
中甲、乙、丙三人必须相邻，丁、戊、戌三人互不相邻，共有多少种不同的排法？
18．（1）把 7个相同的小球放在 3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放 1个球，共有多少种不同的方法？
（2）把 10个相同的小球放在 3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放 2个球，共有多少种不同的方法？
（3）把 7个相同的小球放在 3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？
19．某次文艺晚会上计划演出 7个节目，其中 2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但
是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B C A C D ABC AC
题号 11
答案 BD
12．7 13．36 14．432
15．（1）甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人，
即对七名志愿者进行全排列，则不同的排班方法有 .
（2）甲在第四天巡护，那么只需对其余六名志愿者进行全排列，则不同的排法有 .
（3）甲在第一天，那么只需对其余六名志愿者进行排列，乙丙不相邻，可采用插空法，
其余六名志愿者除乙丙之外的四人有 种排法，这四人排好后形成 5个空，再从这 5个空中选 2个空排乙丙，
有 种排法，
根据分步乘法计数原理，不同的排法有 .
16．（1）二项式 展开式的项数为 ，由题知展开式共 11项，因此 ，得 ，
令 ，得 ，
即 ，
令 ，代入等式得： ，
因此 ；
（2） 展开式中，系数 的符号由 决定，即 对应将原式中 换为 后的系数，
等价于令 代入原式：
计算得 ，因此结果为 ；
（3）令 ，代入等式得 ，
左边等于 ，因此结果为 .
17．（1）由隔板法可知，不同的分配方法种数为 .
（2）将 6名指导教师分成 3组，当这 3组的人数为 1，1，4时，有 种不同的分配方法；
当这 3组的人数为 1，2，3时，有 种不同的分配方法；
当这 3组的人数为 2，2，2时，有 种不同的分配方法.
故不同的分配方法共有 种.
（3）将甲、乙、丙三人进行捆绑，与除丁、戊、戌三人以外的 4人进行全排列，然后将丁、戊、戌三人进行插空排列，
则不同的排法种数为 种．
18．（1）在 7个相同的小球中间的 6个空档里，
选择 2个空档，插入 2块隔板，共有 种方法.
（2）可以先在每个盒子中放 1个球，问题就变成将 7个相同的小球放入 3个不同的盒子，
每个盒子里至少放 1个球，即将小球分为 堆，
在 7个小球产生的 6个空档中选择 2个空档，插入 2块隔板，共有 种方法.
（3）法一：空 0个盒子共有 种，仅空 1个盒子共有 种，
仅空 2个盒子共有 种，综上，共有 种方法.
法二：先借 3个相同的球，在每个盒子里先放入 1个借来的球，
则问题就转化为把 10个相同的小球放在 3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，
即在 10个相同的小球中间的 9个空档里，
选择 2个空档，插入 2块隔板，共有 种方法.
19．（1）将 3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有 种排法．再将剩下 4个节目全排列，有 种排法．最后，
将舞蹈节目整体放入剩下 4个节目排布时产生的不含两端的 3个空中，有 3种排法，故共有 种排法；
（2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有 种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，
有 种排法．则共有 种排法．
（3）将新增两个节目放入 7个节目排布产生的 8个空中．若两个节目放入同一个空，有 种排法，若两个节目
不放入同一个空，有 种排法，故共有 种排法．

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