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沈丘一高高二卓越班测试一
一、单选题
1．定义在 R上的函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．在 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．城区某中学安排 2位数学老师、4位英语老师到 ， 两所乡村中学任教，要求两个乡
村中学各安排 3位老师，其中 中学至少需要安排 1位数学老师，那么有（ ）种不同的
安排方式
A．9 B．12 C．14 D．16
5．记 ，若 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
6．将 1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为
（ ）
A．12 B．26 C．52 D．104
7．在 2025年 10月 19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派
往 A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个
服务站，则在甲被派去 B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若函数 有 4个不同的零点则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第 1页，共 3页
二、多选题
9．正项数列 中， ，若 的前 n项和为 ，且 ，则下
列命题正确的是（ ）
A． B．
C．数列 单调递增 D．
10．将 4个编号分别为 1，2，3，4的小球放入 4个编号分别为 1，2，3，4的盒子中，下列
说法正确的是（ ）
A．共有 256种放法
B．若每个盒子都有小球，则有 24种放法
C．若恰好有一个空盒，则有 144种放法
D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有 24种放
法
11．若 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为
C．奇数项的系数和为 D．
三、填空题
12．若 ，则 ________．
13．已知 为正实数，且直线 与曲线 相切，则 的最大值为______.
14．若曲线 与圆 有公共点 ，且在点 处的切线
相同，则实数 ________.
四、解答题
15．把 4位男售票员和 4位女售票员平均分成 4组，到 4辆公共汽车里售票，如果同样两人
在不同汽车上服务算作不同的情况．
(1)有几种不同的分配方法？
试卷第 1页，共 3页
(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？
(3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？
16．已知在 的展开式中，第 3项的二项式系数与第 2项的二项式系数的比为 ．
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有的有理项；
(3)设 ，则当 时，求 除以 15所得余数．
17．已知函数 ．
(1)证明：在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
18．设数列 满足 ， ， .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，求证： ；
(3)设 ，求数列 的最大项.
19．已知函数 ，其中 a为常数.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 a的取值范围；
(3)设 ，求证：当 时， .
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沈丘一高高二卓越班测试一
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D C A A B ACD ABC
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】已知 ，由导数的定义可以知道，
设 ，当 时， .且
所以
2．A
【分析】分别展开 ， ，找到两部分相乘后指数和为 的项.
【详解】在 的展开式中，第 项为 ，其中
，
含 的项为 ，
含 的项为 ，
结合 ，
可得 的展开式中含 的项为 ，
在 的展开式中 的系数为 .
3．D
【分析】先对函数求导，再求 ，进而可得所求函数值.
【详解】函数 ，所以 ，
，
答案第 1页，共 2页
解得 ， ，
所以 .
4．D
【详解】情况 1： 中学安排 1位数学老师，2位英语老师的方式： ，
情况 2： 中学安排 2位数学老师，1位英语老师的方式： ，
所以 中学至少需要安排 1位数学老师的方式为： （种）.
5．C
【分析】利用赋值法，分别令 和 ，再结合二项式定理求解即可.
【详解】令 ，由 ，
得 ，
则 ，
.
6．A
【分析】分类讨论数字 1出现的位置，即可由分类加法以及排列求解.
【详解】第一张为 1时;
若第五张为 1，则仅有 1种排法；
若第三张为 1，有 种排法.
若第四张为 1，有 种排法.
第二张为 1时;
若第四张为 1，则共 种排法，
若第五张为 1，有 种排法，
第三张为 1时，第五张为 1，有 种排法，
综上可得：总计 12种排法.
7．A
答案第 1页，共 2页
【分析】先求出甲被安排到 服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，
然后求其概率即可.
【详解】先求甲被派去 服务站的方法数；
第一种情况：甲一个人去 服务站，则有 种；
第二种情况：甲和其中一人去 服务站，则有 种；
故甲被派去 服务站的方法数共 种；
再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有 种；
故概率为 .
8．B
【分析】利用导数作出函数 的图象，转化条件为 的图象与直线 有
个交点，数形结合即可得解.
【详解】由题当 时， ，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ；
所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 ，当 时， ；
当 时， ；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数 有 个不同的零点，
所以 的图象与直线 有 个交点，
即 ，解得 .
答案第 1页，共 2页
9．ACD
【分析】由 化简原式可得 是等差数列，代入 求得 的通项公式进
而可得 的通项公式，验证首项后即可判断 A，B，结合函数单调性，可判断 C，对于 D，
使用数列放缩 将 放缩成裂项形式，求和后即可求解.
【详解】当 时， ，
则 ，整理得 ，
所以数列 是公差为 1的等差数列，
代入 ， ，其中 ，
解得 ，故 ，因为 也满足，故
进而 ．
当 时， ，又 也满足，则 ．
，由函数的单调性可得数列 单调递减；
所以 ，故 A正确，B错误；
，数列 ，单调递增，C正确；
由 可得 ，
，故 D正确；
10．ABC
【详解】对于 A：每个小球有 4种放法，所以共有 种放法，故 A正确；
对于 B：若每个盒子都有小球，则有 种放法，故 B正确；
对于 C：先从 4个小球中任选 2个放入其中 1个盒子中，有 种放法，
再在剩下的 3个盒子中任选 2个放入剩下的 2个小球，有 种放法，所以共有
种放法，故 C正确；
对于 D：先从 4个小球中任选 1个，放入编号相同的盒子中，有 种放法，
答案第 1页，共 2页
再将剩下的 3个小球放入编号不同的盒子中，有 2种放法，所以共有 种放法，故 D
错误.
11．ABD
【分析】通过对二项式展开式中的 赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系
数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误.
【详解】对于 A：因为 ，因此
，故 A正确；
对于 B：展开式中所有项的二项式系数的和为 ，故 B正确；
对于 C：令 ，可得 ；
再令 ，可得 ，
将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为 ，故 C错误；
对于 D：令 ，则 ，
再令 ，可得 ，
所以 ，故 D正确．
12．3124
【分析】由多项式分析知： 为奇数，系数为负； 为偶数，系数为正，可得
，再应用赋值法求 、
，即可得结果.
【详解】由题设，含 的项中，当 为奇数，系数为负，而当 为偶数，系数为正，
所以 ，
令 ，则 ；
令 ，得 ，
所以 ．
13． /
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
答案第 1页，共 2页
【详解】由直线 与曲线 相切，
设切点为 ，由 ，且切线的斜率为 ，
所以 ，
代入曲线方程中得： ，
所以切点为 ，代入直线方程中得： ，
因为 ，所以 .
当 时取等号，所以 的最大值为 .
14． /
【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可.
【详解】由 知定义域为 ，则 ，
此时曲线在点 处的切线斜率为： ，
又圆 的圆心 与点 所在直线的斜率为： ，
所以圆在点 处的切线斜率为： ，
由题意知 ，①
又 在圆上所以： ，②
将①代入②中得： ，
化简得： ，解得： 或 （舍去），
又由题意知 ，所以 ，此时 ，所以 ，
将 代入 中有： ，解得： .
15．(1)2520
(2)576
(3)216
答案第 1页，共 2页
【分析】（1）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可；
（2）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有 种不同方法；再
分配女售票员，也有 种方法，相乘可得答案；
（3）第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有 种不同分法，所以共有 种
分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有 种上车方法，相乘可得答案.
【详解】（1）男女合在一起共有 8人，每个车上 2人，可以分四个步骤完成，
先安排 2人上第一辆车，共有 种，
再安排第二辆车共有 种，
再安排第三辆车共有 种，
最后安排第四辆车共有 种，
这样不同的分配方法有 （种）．
（2）要求男女各 1人，因此先把男售票员安排上车，共有 种不同方法；
再把女售票员安排上车，也有 种方法.
由分步乘法计数原理，男女各 1人的不同分配方法为 （种）．
（3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有 种不同分法，
4位女售票员平均分成两组，也有 种不同分法，
这样分组方法就有 （种）.
对于其中每一种分法又有 种上车方法，因而不同的分配方法有 216（种）．
16．(1) ；
(2) ， ， ；
(3)0
【分析】（1）根据二项式系数的定义得到方程，求出答案；
（2）由二项式定理得到展开式通项公式，得到有理项；
（3）根据二项式定理变形，从而得到余数.
答案第 1页，共 2页
【详解】（1）根据题意， ，即 ，又 ，故 ；
（2）由题意得 ，
其展开式的通项公式 ，
要想求解展开式中的有理项，需满足 为整数，故 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；当 为其他值时，均为无理项，
故有理项为 ， ， ；
（3）而 ，
当 时，
，
而 能够被 15整除，
故 除以 15所得余数为 0．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分析 的单调性及取值情况，可得 有唯一解，从而证得在曲线
的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等；
（2）分离参数 ，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数 的取值范围．
【详解】（1）函数 的定义域为 .
.
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令 ，则 .
令 ，得 ，所以 ；
令 ，得 ，所以 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在 处取得最小值，最小值为 .
当 时， ， 所以 .
又 ，所以当 时， .
当 时， .
其简图如下：
所以 有唯一解，即在曲线 的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于 ，
即在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等.
（2）当 时，不等式 恒成立，即 .
令 ，则
.
答案第 1页，共 2页
令 ，则
.
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
所以 是增函数，所以 .
因为 ，所以 恒成立，所以 是增函数，
所以 ，即 的最小值为 .
所以实数 的取值范围是 ．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到 与 的关系，再根据等差数
列的定义证明即可.
（2）根据（1）求出 的表达式，结合错位相减法求出 ，进而得到 .
（3）根据（2）求出 的表达式，然后通过作差法比较 与 的大小，判断数列 的单
调性，从而求出最大项.
【详解】（1）由 可得， ，即 ，
又 ，因此 是以 1为公差，1为首项的等差数列.
（2）由（1）得， ， ，
设其前 项和为 ，则 ，
，
所以 ，
答案第 1页，共 2页
即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，因此 ．
（3）由（2）得 ，所以 ， ，
所以 .
当 时， ，得 ，即 .
又因为 ， ， ，所以 ，
所以 的最大项是 .
19．(1)函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数 的单调区间；
（2）根据题意分析可知 ，利用导数分析可知 在 内单调递减，结合恒成立
问题运算求解即可；
（3）令 ，利用导数分析 的单调性可得 ，结合
，可得 ，即可得结果.
【详解】（1）当 时，则 的定义域为 ，且
，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）因为 ，
若 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，不合题意，所以 ，
答案第 1页，共 2页
因为 ，
且 ，则 ， ，则 ，
可知 在 内单调递减，则 ，
可得 ，解得 ，
所以实数 a的取值范围为 .
（3）令 ，
则 ，
因为 ， ，则 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
即 ，所以当 时， .
答案第 1页，共 2页

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