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2026年北京市八一教育集团九年级零模联考试卷数学学科
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列传统图案中，是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.若点在反比例函数的图象上，则的符号为（ ）
A. 正 B. 负 C. 零 D. 无法确定
5.不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.近年来我国芯片领域自主创新成果丰硕，高端制程芯片技术不断突破，某款国产高端算力芯片在性能提升的同时，单颗芯片集成的晶体管数量更是达到520亿个，彰显了国内芯片制造的硬实力．在实际的智算中心部署时，一台标准的人工智能算力服务器通常搭载8颗该款芯片，而一个标准的液冷算力机柜内部署了5台这样的人工智能算力服务器．请问这一个算力机柜内的该款芯片，总共包含的晶体管数量用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
7.在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（ ）
A. 小海作图判定的依据是
B. 小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C. 小华作图判定的依据是
D. 小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
8.如图，在平面直角坐标系中，分别是反比例图象上两个动点，轴于点A，轴于点，直线与轴、轴分别交于点和点．给出下面四个结论：①，②，③可能是等腰直角三角形，④与的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④ B. ①② C. ②③ D. ①③④
二、填空题：本题共9小题，共36分。
9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程-=0的解是 ．
12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13.为了解某校初三年级人的跳绳情况，从中随机抽取名学生进行调查，体育委员统计了秒跳绳的次数，列出如下频数分布表：
次数
频数
根据以上数据，估计全年级跳绳次数在范围的学生共 ．
14.如图，是的弦，C是上的一点，且，于点E，交于点D．若的半径为6，则弦的长为 ．
15.如图，矩形中，，分别为，的中点，且，，则的长为 ．
16.现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元吨）：
（）
（）
（）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
(1) 如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到；
(2) 考虑各种方案，运费最低为 元．
17.北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下：
b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97；
c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下：
甲 乙 丙 丁
平均数 94 94 94
中位数 94 94 93.5
方差 1.2 5.2 1.2
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表中的值为 ，的值为 ；
(2) 表中_ 1.2（填“”“”或“”）
(3) 大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮：
第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）；
第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单．
第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员．
你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是 同学，该同学的W分是 分．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
18.解不等式组：
四、解答题：本题共10小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题3分)
计算：．
20.(本小题3分)
已知，求的值．
21.(本小题4分)
如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至点F，使，连接
(1) 求证：四边形AEFD是矩形；
(2) 若，，求CD的长.
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求该一次函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围．
23.(本小题3分)
赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？
24.(本小题4分)
如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点．
(1) 求证：；
(2) 连接交于点，补全图形，若，，求的长．
25.(本小题6分)
某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下：
所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25
B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6
通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题：
(1) 在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象；
(2) 与的关系式为
(3) 重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答：
①这些重物的质量为 ；
②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为 ．
26.(本小题4分)
已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴垂线，若图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方，求的取值范围．
27.(本小题3分)
在中，，平分，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接．
(1) 如图1，求证：，
(2) 如图2，过点作交的延长线于点，判断与的数量关系，并证明．
28.(本小题3分)
在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1) 如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”．
在图中画出点；
连接，交线段于点．求证：；
(2) 的半径为，是上一点，点在线段上，且，若为外．点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】x=2
12.【答案】
13.【答案】名
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】

【小题2】

17.【答案】【小题1】
94
94
【小题2】
【小题3】
甲
282

18.【答案】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴ 原不等式组的解集为．

19.【答案】原式
．

20.【答案】解：
，
∵已知，
∴可变形得到：，
∴原式．

21.【答案】【小题1】
解：在菱形ABCD中，，，
，
，
，
，
，
四边形AEFD是平行四边形，
，
平行四边形AEFD是矩形；
【小题2】
解：在菱形ABCD中，，
，
，
在矩形AEFD中，，
，
在中，，
解得：

22.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∴一次函数的解析式为，
∵一次函数经过，
∴，即，
∴这个一次函数的解析式为；
【小题2】
解：如图，
当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为．

23.【答案】解：设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为，
根据题意，可列出方程：，
解得，
将代入可得：，
∴该龙舟模型的总长度是．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，如图．
，与分别相切于点，，
，，．
．
，
．
，
∴
．
【小题2】
解：连接交于点，如图．
是的直径，
．
．
，
，
又，
，
，
设
由勾股定理可得：，，
解得：
，．
，，

．
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：补全的函数图象如图：
【小题2】

【小题3】
4


26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线经过点，
把点、代入，
得：，
解得，
∴抛物线解析式为：；
【小题2】
解：抛物线的开口向下，
对称轴：，顶点坐标为，
∵ 点的横坐标为，且与不重合，图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方，
∴图象是抛物线在上的部分，
当，
最高点：，
最低点：，
直线的方程为：
最高点在直线上方：，解得
最低点在直线下方：，解得
结合，得；
当时
最高点：，
最低点：，
当时，对应直线的方程为，
最高点在直线上方：，解得，
最低点在直线下方：，解得，
结合，得；
当，此时，在对称轴左侧，随增大而增大，
因此最高点为，最低点为：
最高点在上方：，得，结合得；
最低点在下方：，
化简得，满足该条件，
因此符合要求，
综合，的取值范围是或．

27.【答案】【小题1】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：，理由如下：
取中点，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

28.【答案】【小题1】
解：点如下图所示．
∵点，
∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
证明：如图延长至点，连接，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：如图所示，
连接并延长至，使，延长至，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．

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