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2026年江苏省南通市海门区中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　）

A. m=5，n=13 B. m=8，n=10 C. m=10，n=13 D. m=5，n=10
2.如图，下列图形都是由同样大小的圆点按照一定规律组成的，其中第①个图形中有3个圆点，第②个图形中有7个圆点，第③个图形中有13个圆点，按此规律排列下去，第10个图形中圆点的个数为（　　）
A. 90个 B. 110个 C. 111个 D. 133个
3.若三个非零有理数a,b,c,满足ab＜ac,abc＜0，且有|a|＞|c|，则这三个数的大小关系为（　　）
A. a＞b＞c或b＞c＞a B. b＞c＞a或a＞c＞b
C. a＞c＞b或c＞a＞b D. c＞a＞b或a＞b＞c
4.函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代数式的值中，正数有（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
5.在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（　　）
A. 众数是90分
B. 中位数是85分
C. 平均数是89分
D. 75%分位数是90分
6.如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（　　）
A. CG
B. BC
C. AE
D. DF
7.如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为（　　）
A. B. C. 4+6 D. 4-6
8.如图，反比例函数的图象经过点A（2，4），连接AO并延长，交双曲线于点C.以AC为对角线作正方形ABCD，点B在第四象限，过点A，O，B作弧.则图中阴影部分的面积为（　　）
A.
B.
C. 5π+5
D. 5π-5
9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点G，过E作EF⊥BC于点F、交AC于点H，若3AG=2CH，则sin∠EGH的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC：BC=7：10，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点D，过点D作BD的垂线，交CA延长线于点E，连接AD，若△BCD的面积为6，下列结论：①AC=AB；②∠EDC=135°；③AD平分∠BAC；④，其中正确的有（　　）个
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生中约有______名学生“步行上学”．
12.四张完全相同的卡片上，分别画上圆，矩形，菱形，平行四边形，现从中随机抽取2张，均是轴对称图形的概率是 .
13.已知x2=3y+t,y2=3x+t,且x≠y（t是常数），则称点M（x,y）是“关联点”.若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是 .
14.关于x的函数y=x2-|x-3|-6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点，则k的值为 .
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且四边形DECF为正方形，若AD：DB=3：2，正方形DECF的面积为4，则AD的长为______．
16.已知e＞a＞b＞c＞0＞d且b＞c-d,将多项式+a-b+c-d+e中的n个（2≤n≤5，且n为整数）字母添加一个括号（括号里不能再有括号），并同时改变括号前的符号后得到一个新多项式，并写出整个新多项式的绝对值，然后再进行去绝对值运算，称这种操作为“绝对变括操作”，例如：|+a+（b+c）-d+e|=a+b+c-d+e等，下列结论正确的是 .
①若n=4时，存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式的和为2e；
②存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式相同；
③当3≤n≤5时，所有的“绝对变括操作”共有4种不同的运算结果.
17.如图，在 ABCD中，AB=16，BC=13，，E为AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE.若A′B与CD交于点F且BF=BC，则DE的长为 .
18.在正方形ABCD中，E为对称中心，BD为对角线，P为正方形内部一点，PA=6，PC=10，PD=，Q为DC边上一动点，连结QE，QB，则（QE+QB）2的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
（1）计算：；
（2）化简：x（x+2）-（x+1）（x-1）.
20.(本小题10分)
某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，己知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：=1.73．）
21.(本小题12分)
某初中数学老师要从甲乙两位学生中选一名参加数学竞赛，甲乙两人前5学期的数学成绩如下表，
第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 第五学期
甲 75 80 85 90 95
乙 95 87 88 80 75
（1）分别求出甲乙二人前五学期的数学平均成绩.
（2）在如图中分别画出甲、乙前五学期数学成绩折线图.
（3）如果你是老师，你认为该选哪位学生参加数学竞赛？请简要说明理由.
22.(本小题11分)
已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM.
（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=，求tan∠BCP的值.
23.(本小题11分)
如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）HD平分∠AHC吗？为什么？

24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作切线l,在圆的外部过点P分别作射线PA，PB，当∠1=∠2=α（0°＜α＜90°）时，则称PA，PB为点P关于该圆的“关联等角射线”.如图1.
（1）如图2，⊙O的半径为1，已知∠APC=60°，∠B1PD=60°，∠B2PD=30°，∠B3PC=60°，在射线PB1，PB2，PB3中，PA的“关联等角射线”是______；
（2）如图3，⊙O的半径为1，点P在第三象限，PA，PB为点P关于⊙O“关联等角射线”，PA与x轴平行，PB与y轴平行，则此时α的度数为______°；
（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1.点P在第一象限，PA，PB为点P关于⊙M“关联等角射线”，若PA过点O，PB与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为yP，则yP的取值范围是______.
25.(本小题14分)
阅读理解
如图（1），在正多边形A1A2A3…An的边A2A3上任取一不与点A2重合的点B2，并以线段A1B2为边在线段A1A2的上方作以正多边形A1B2B3…Bn，把正多边形A1B2B3…Bn叫正多边形A1A2…An的准位似图形，点A3称为准位似中心．
特例论证
（1）如图（2）已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3，试证明：随着点B2的运动，∠B3A3A1的大小始终不变．
数学思考
（2）如图（3）已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4，随着点B2的运动，∠B3A3A4的大小始终不变？若不变，请求出∠B3A3A4的大小；若改变，请说明理由．
归纳猜想
（3）在图（1）的情况下：
①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变，请用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小（直接写出结果）；若改变，请说明理由．
①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1=______（用含n的代数式表示）
26.(本小题14分)
如图1，抛物线C1：y=x2+b交y轴于A（0，1）.
（1）直接写出抛物线C1的解析式______.
（2）如图1，x轴上两动点M，N满足：-Xm=Xn=n.若B，C（B在C左侧）为线段MN上的两个动点，且满足：B点和C点关于直线l：x=1对称.过B作BB'⊥x轴交C1于B'，过C作CC'⊥x轴交C1于C'，连接B'C'.求B'C'的最大值（用含n的代数式表示）.
（3）如图2，将抛物线C1向下平移个单位长度得到抛物线C2.C2对称轴左侧的抛物线上有一点M，其横坐标为m.以OM为直径作⊙K，记⊙K的最高点为Q.若Q在直线y=-2x上，求m的值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】225
12.【答案】
13.【答案】1＜m＜或m＜1
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】2
17.【答案】
18.【答案】290
19.【答案】解：（1）原式=3-2×-（-1）
=3--+1
=+1；
（2）原式=x2+2x-（x2-1）
=x2+2x-x2+1
=2x+1．
20.【答案】解：如图所示，作DM⊥AB于M，BN⊥CD于N，则DM=BN=24米，
在Rt△ADM中，由题意∠DAM=60°，
∴AM==8米，
在Rt△BNC中，由题意∠NCB=45°，
∴DN=DC-NC=45×5-24=201米，
∴AB=AM+MB=8+201=214.8米，
答：A、B两点的距离214.8米．
21.【答案】（1）甲（75+80+85+90+95）÷5=85，
乙（75+80+87+88+95）÷5=85．
（2）如图
（3）派甲去，因为甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩呈下降趋势．
22.【答案】线段AE、MD之间的数量关系是：AE=2MD，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
∴AB=CB=2BD，
在△ABE和△DBM中，
∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴===2，
∴AE=2MD
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC．
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
（2）答：HD平分∠AHC．
理由如下：过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，

∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠ACE+∠FCE=60°，
∴∠BAF+∠FCE=60°，
∴∠AHC=∠AFC+∠HCF=∠B+∠BAF+∠BCE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠HAD+∠HCD=180°，
∵∠HAD+∠KAD=180°，
∴∠HCD=∠KAD，
在△ADK和△CDG中，，
∴△ADK≌△CDG（AAS），
∴DK=DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．
24.【答案】PB1 45 ≤yP＜
25.【答案】（1）证明：∵△A1A2A3与△A1B2B3是正三角形，
∴A1A2=A1A3，A1B2=A1B3，∠A2A1A3=∠B2A1B3=60°，
∴∠A2A1B2=∠A3A1B3，
∴△A2A1B2≌△A3A1B3，
∴∠B3A3A1=∠A2=60°，
∴∠B3A3A1的大小不变；
（2）∠B3A3A4的大小不变，
理由：如图，
在边A1A2上取一点D，使A1D=A3B2，连接B2D，
∵四边形A1A2A3A4与A1B2B3B4是正方形，
∴A1B2=B2B3，∠A1B2B3=∠A1A2A3=90°，
∴∠A3B2B3+∠A1B2A2=90°，∠A2A1B2+∠A1B2A2=90°，
∴∠A3B2B3=∠A2A1B2，
∴△A3B2B3≌△DA1B2，
∴∠B2A3B3=∠A1DB2，
∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，
∴A2B2=A2D，
∵∠A1A2A3=90°，
∴△DA2B2是等腰直角三角形，
∴∠A1DB2=135°，
∴∠B2A3B3=135°，
∵∠A4A3A2=90°，
∴∠B3A3A4=45°，
即：∠B3A3A4的大小始终不变；
（3）①∠B3A3A4的大小始终不变，理由：如图1，
在A1A2上取一点D，使A1D＝A3B2，
连接B2D，
∵∠A2A1B2＝180°﹣∠A2﹣∠A1B2A2，∠A3B2B3＝180°﹣∠B3B2A1﹣∠A1B2A2，
而∠A2＝∠B3B2A1，
∴∠A2A1B2＝∠A3B2B3，
∵A1B2＝B2B3，
∴△A3B2B3≌△DA1B2，
∴∠B2A3B3＝A1DB2，
∵A1A2＝A2A3，A1D＝A3B2，
∴A2D＝A2B2，
∴∠A1DB2＝180°﹣（180°﹣∠A1A2B2）＝90°+×＝90°+
∴∠B3A3A4＝∠A1DB2﹣∠B2A3A4＝90°+﹣＝；
①
26.【答案】y=x2+1
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