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2025-2026学年江西省上饶市余干县沙港中学、育才学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A. 旭日东升 B. 萍水相逢 C. 瓮中捉鳖 D. 天方夜谭
2.下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而减小
C. 点（1，5）在反比例函数的图象上 D. 当x＞0时，y＜0
3.如图，在△ADE中，点B，C分别在边AD，AE的延长线上，且BC∥DE，若AE=3，CE=4，则的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使点B在DE上，若∠C=20°，则∠ABD=（　　）
A. 40°
B. 65°
C. 70°
D. 120°
5.一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子OP（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）.离梯子底端1米处（OE）有一把垂直于地面的椅子DE，椅子的影长EF=3米（影子投射在地面上）.为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（OB）竖起一根1米高的竹竿AB，测得竹竿的影长BC=4米，则椅子的高度为（　　）
A. 2米 B. 1.5米 C. 3米 D. 2.5米
6.物理中，当用电器两端电压U保持不变时，用电器中的电流I（单位：A）与用电器的电阻R（单位：Ω）成反比例关系，其函数解析式为（U为非零常数）.某同学绘制了该电路的I-R图象（如图所示，横轴为电阻R，纵轴为电流I），已知图象经过点Q（2，6）.下列说法正确的是（　　）
A. 电压U=3V
B. 当R=4Ω时，电流I=2A
C. 电阻R每增大1Ω，电流I就减小3A
D. 若电流I的取值范围是2A≤I≤8A，则电阻R的取值范围是1.5Ω≤R≤6Ω
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若，则= .
8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高.若AB=5，AC=10，则的值为 .
9.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点D.若⊙O的半径为3，则OD的长为 .
10.在适宜环境中，某实验种群的数量y（单位：只）与培养时间x（单位：天）满足二次函数关系y=-2x2+40x+50（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）.该种群数量达到最大值时的培养时间为 天.
11.如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若S△AOB=4，则k1-k2的值为 .
12.已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解方程：4x2=x；
（2）已知反比例函数（k为常数，k≠-1），若点A（1，-2）在这个函数图象上，试判断点B（-2，k）是否也在这个函数的图象上，并说明理由.
14.(本小题6分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC与BD交于点O，，CD=5，求AB的长.
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠B=36°，将△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C′在边BC上.
（1）若AB′∥BC，求∠BC′B′的度数；
（2）连接BB′，求证：△ABB′∽△ACC′.
16.(本小题6分)
如图是9×7的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点.A，B，C三个格点都在圆上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图（保留作图痕迹.不写作法）.
（1）在图1中作出这个圆的一条直径；
（2）在图2中作格点D，使得DA与⊙O相切.
17.(本小题6分)
如图，△ABO是边长为2的等边三角形，线段OB在x轴上，反比例函数的图象经过点A.
（1）求点A的坐标及反比例函数的解析式；
（2）若这个反比例函数图象上有两个点（a,b），（m,n），且a＜m＜0，请比较b和n的大小.
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为点A（1，-2），B（4，-1），C（3，-3）.
（1）请以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1，点B的对应点B1的坐标为______；
（2）若△ABC内部任意一点P的坐标为（a,b），求出经过（1）的变化后点P的对应点P1的坐标（用含a,b的代数式表示）.
19.(本小题8分)
某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本y（元）与生产数量x（个）之间近似满足反比例函数关系.
（1）已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求y关于x的函数解析式；
（2）若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？
20.(本小题8分)
如图，一块材料的形状是锐角三角形（△ABC），边BC=150mm,高AD=100mm,把它加工成矩形零件，使矩形的一边GH在边BC上，其余两个顶点E，F分别在边AB，AC上，设EG=x mm,EF=y mm.
（1）写出x与y之间的关系式；
（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值.
21.(本小题9分)
我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[1，3]*[2，4]=1×2-3×4=-10.
（1）求[4，-3]*[-2，6]的值；
（2）已知关于x的方程[2x,x-1]*[mx+1，1]=0有两个实数根，求m的取值范围.
22.(本小题9分)
心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）.
（1）开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲21分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
23.(本小题12分)
如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=60°，BC=6，BE=3.
【特例发现】
（1）如图1，当点D，E分别在边AB，BC上时，可以得出结论：的比值为______.直线AD与直线CE的位置关系是______；
【探究证明】
（2）如图2，将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转，使点E恰好落在线段AC上，连接AD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由：
【拓展运用】
（3）如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜60°），连接AD，EC，它们的延长线交于点F，若AF=2CE且DF=2，求此时CE的长.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】6
10.【答案】10
11.【答案】-8
12.【答案】5或或
13.【答案】x1=0， 不在，
把点A（1，-2）代入得k+1=-2，
解得k=-3，
∴反比例函数的解析式为．
∵当x=-2时，y=1≠-3，
∴点B（-2，k）不在这个函数的图象上
14.【答案】．
15.【答案】36° 如图，连接BB′，
∵旋转，
∴∠B′AC′=∠BAC，AC′=AC，AB′=AB，
∴，
∴△ABB′∽△ACC′
16.【答案】这个圆的一条直径，如图1即为所求； 使得DA与⊙O相切的格点D，如图2即为所求．

17.【答案】， b＞n
18.【答案】与△ABC的相似比为2：1的△A1B1C1，如图即为所求；
（-8，2） P1（-2a，-2b）
19.【答案】 167个
20.【答案】 不正确，
矩形面积
=，
函数图象的对称轴为直线x=50．
∵函数图象开口向下且0＜x＜100，
∴当x=50时，S有最大值，为3750mm2．
又∵当x=50时，y=75，x≠y，
∴S最大时矩形EGHF不是正方形，
∴这个说法不正确
21.【答案】10 且m≠0
22.【答案】第六分钟时学生的注意力更集中 老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目
23.【答案】;AD⊥EC 结论成立．证明如下：
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中，由（1）可知，，
∴△ABD∽△CBE，
∴，∠ADB=∠BEC．
∵∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠ADB+∠BEC=180°，
∴∠DBE+∠DAE=180°．
∵∠DBE=90°，
∴∠DAE=90°，
∴AD⊥EC
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