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6.3《平面向量的基本定理及坐标表示》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题

1.已知向量，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.

2.在中，为中点，则（ ）
A. B.
C. D.

3.向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （ ）
A. B. C. D.

4.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，，若，的余弦距离为，，的余弦距离为，且，则（ ）
A. B. C. D.

5.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.

6.如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

7.已知向量，不共线，若，，且，则关于实数，的值可以是（ ）
A.， B.， C.， D.，

8.中，为上一点且满足．若为线段上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最小值为
三、填空题

9.已知扇形半径为，，弧上的点满足，则的最大值是_____________．

10.已知点为的重心，，分别为边，上一点，为的中点，若，，三点共线，且，则的最大值为________.
四、解答题

11.已知向量，设函数．
（1）求函数的对称中心；
（2）求函数在上的值域．

12.如图，在中，是中点，在边上，且，与交于点．
（1）用，表示；
（2）过点作直线交线段于点，交线段于点，且，，求的值；
（3）若，求的值．

13.在中，，，．点为所在平面上一点，满足、且．
（1）若，用，表示；
（2）若点为的外心，求、的值.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
利用向量垂直的坐标表示建立方程，再求解参数即可.
【解答】
，，
得到，解得，故正确.
故选：．
2.
【答案】
B
【考点】
向量的加法及其几何意义
用基底表示向量
平面向量基本定理的应用
【解析】
由，根据平面向量线性运算即可求解.
【解答】
由题意有：，所以，
故选：
3.
【答案】
D
【考点】
向量夹角的坐标表示
【解析】
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.
【解答】
设小正方形的边长为，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
，
因为，所以
故选：
4.
【答案】
C
【考点】
平面向量的综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意可得，，所以，
所以，则
同理可得，所以，则
因为，所以，，所以，，
所以
故选：
5.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
数量积的运算律
数量积的坐标表示
向量垂直的坐标表示
【解析】
方法一：利用垂直向量数量积为，结合向量数量积的运算律计算；方法二：利用线性向量的坐标运算，以及数量积的坐标运算计算可得.
【解答】
方法一：因为，所以，
则，即，解得
方法二：因为，又，所以，则，解得
故选：
6.
【答案】
A
【考点】
数量积的坐标表达式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值
【解答】
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，其中，则，
因为，所以，又，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：
二、多选题
7.
【答案】
A,B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据，可得出存在，使得，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【解答】
因为，则存在实数，使得，
即，即，所以，
又因为向量，不共线，所以，解得，
所以实数，的值互为倒数．
故选：．
8.
【答案】
A,D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
基本不等式
【解析】
根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可.
【解答】
，故正确；
由，
所以，又三点共线，
，即，故错误；
由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故错误；
，当且仅当时等号成立，故正确．
故选：．
三、填空题
9.
【答案】
【考点】
辅助角公式
由向量线性运算结果求参数
【解析】
先建立坐标系，从而得到点的坐标，再根据得到的值，最后求的最大值即可.
【解答】
以为原点，以为轴，过且垂直于为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，
因为，
所以，解得，
所以
由图可知，
当时，最得最大值
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
向量的共线定理
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析 因为点为的重心，所以因为，，三点共线，所以存在，使得，又，所以，则. 由图可知，因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.
四、解答题
11.
【答案】
【考点】
求含sinx(型)函数的值域和最值
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
三角恒等变换的化简问题
数量积的坐标表示
【解析】
（1）利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再求其对称中心即可；
（2）根据条件求出整体角的范围，结合正弦函数的图象，即得函数的值域.
【解答】
（1）解：，
由，可得，
故函数的对称中心为
（2）由，可得，
由正弦函数的图象可得，
故函数在上的值域为
12.
【答案】
．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）由，，三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解；
（2）因为，，三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值；
（3）用，表示，从而进行数量积运算.
【解答】
（1）因为，，三点共线，所以，，且，，三点共线，
所以存在实数，使，其中是中点，且，
所以
即
解得，，
所以．
（2）因为，，三点共线，所以存在实数，使，
其中，，所以，
根据平面向量基本定理可得：即，
所以．
（3）
，
整理可得：，所以．
13.
【答案】
【考点】
用基底表示向量
平面向量基本定理的应用
用定义求向量的数量积
数量积的运算律
【解析】
（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出
（2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值.
【解答】
（1）解：因为，所以
因为
所以
所以
所以
（2）取的中点分别为，连接，则
又，
同理
，
所以
所以
因为，
所以，
同理
整理得到，解得
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