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6.4《平面向量的应用》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题

1.设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.

2.在锐角中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.

3.在中，，则这个三角形有（ ）
A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定

4.在中，已知，则（ ）
A. B. C. D.

5.的内角，，的对边分别为，，，，如果有两解，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.

6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

7.在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，

8.设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ）
A.若，则为直角三角形
B.若，则为直角三角形
C.若，则为直角三角形
D.若，则为直角三角形
三、填空题

9.在中，若满足，，的三角形有两个，则实数的取值范围为________．

10.如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点.则椭圆离心率的取值范围是 .
四、解答题

11.已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，
（1）求；
（2）求的取值范围.

12.的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
（1）证明：；
（2）若，求

13.在中，角，，所对的边分别为，，，，．
（1）再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积；
条件①：；
条件②：；
条件③：．
（2）若，求周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
余弦定理及辨析
【解析】
根据余弦定理，即可求解.
【解答】
根据余弦定理可知，
故选：
2.
【答案】
A
【考点】
已知三角函数值求角
正弦定理边角互化的应用
【解析】
根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解.
【解答】
由，得到，又是锐角三角形，
所以，则，得到，
故选：
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理判定三角形解的个数
正、余弦定理判定三角形形状
【解析】
根据题意可得，则有，即有，从而得，即可得答案.
【解答】
解：因为，
所以，，
所以有，即，
所以，
所以三角形为钝角三角形，只有一个解.
故选：
4.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】由题意可知， ，
又，
则由正弦定理可得，
故选：
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
正弦定理判定三角形解的个数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由正弦定理得： ，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有．故选．
6.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答】
因为，可得，解得，
又因为，可得，，
因为，由余弦定理，
即，解得，
所以
故选：
二、多选题
7.
【答案】
B,C
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断选项的正误．
【解答】
解：对于，
由正弦定理可得：，无解；
对于，
由正弦定理可得，且，有一解；
对于，∴
由正弦定理可得：，此时，有一解；
对于，∴
由正弦定理可得：，且
：有两个可能值，本选项不符合题意．
故选：
8.
【答案】
A,D
【考点】
余弦定理解三角形
正弦定理解三角形
正、余弦定理判定三角形形状
【解析】
由正弦定理，求得，求得，可判定正确；根据正弦定理，得到，得到或，可判定错误；根据正弦定理，化简得到，可得判定错误；根据余弦定理，求得，可判定正确.
【解答】
对于中，由，可得，
所以，即，
可得，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形，所以正确；
对于中，因为，所以，
即，所以，即，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以错误；
对于中，因为，
所以，
即，即，
因为，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以错误；
对于中，因为，
整理可得，所以的形状一定是直角三角形，所以正确.
故选：
三、填空题
9.
【答案】
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
利用正弦定理得得，因为满足条件的三角形有两个，所以，求解不等式即可．
【解答】
由正弦定理得得
因为满足条件的三角形有两个，所以得
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
平面向量在解析几何中的应用
【解析】
设，，由，得到，再根据，得到，再由，得到，再解不等式，即可求出结果.
【解答】
设，，又，，所以，，又，得到
所以，得到，，所以，
所以，，
又，所以，整理得，
由，消得，
解得或，又，所以舍去，
所以，即，
整理得，解得，又，
所以，
故答案为：
四、解答题
11.
【答案】
【考点】
正弦定理边角互化的应用
求三角形中的边长或周长的最值或范围
正余弦定理与三角函数性质的结合应用
【解析】
（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得；
（2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得.
【解答】
（1）解：由，则有，
即
，
由为锐角三角形，故、，故，
则有，即，即；
（2）由正弦定理可得
，
由为锐角三角形，故，解得，
故，则，则
12.
【答案】
证明见解析；
【考点】
正弦定理边角互化的应用
三角形的面积公式
余弦定理及辨析
用和、差角的余弦公式化简、求值
【解析】
（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论.
（2）由及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可.
【解答】
（1）解：由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即
（2）由及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以
13.
【答案】
答案见解析
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理解三角形
三角恒等变换的化简问题
正弦定理解三角形
【解析】
（1）选择①，利用正弦定理推出不存在；
若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得；
（2）根据正弦定理及三角恒等变换公式化简可得的周长为，结合角的范围及正弦函数的性质求解即可.
【解答】
（1）选条件①：，由正弦定理得，
即，解得，
故无解，所以不存在；
选条件②：，由余弦定理得，
则，解得或，
当时，；
当时，
选条件③：，则，
由正弦定理得，则，
又
，
所以
（2）由，则，则为钝角，
因为，所以，
又，
则的周长为
，
因为，所以，则，
所以，
即周长的取值范围为．
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