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北京市大兴区第七中学2025-2026学年九年级下学期数学第一次达标测试
学校：_____________ 班级：_____________ 姓名：______________ 评价：____________
一．单选题
1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．B．C． D．
2．截至2024年年底，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到14.5亿千瓦，首次超过火电装机规模．用科学记数法将数据1450000000表示为（ ）
A． B． C． D．
3．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．正五边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
5．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ）
A．1 B．0 C． D．2
7．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ）

A．5 B． C．4 D．
8．如图，在中，，，（其中）．于点D，点E在边上，．设，，，给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于x的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二．填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
10．分解因式________．
11．方程的解为______．
12．国家规定“中小学生每天综合体育活动时间不低于小时”．某中学有名学生，就“一周综合体育活动时间”的问题随机抽取了名学生进行调查，获得了他们一周综合体育活动时间（单位：小时），数据整理如下：
13．已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点的坐标为，则另一交点坐标为___．
14．如图，已知内接于，的切线交的延长线于点D，若，则的度数为________．
15．如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为__________．
16．某工厂用甲、乙两台设备加工，，三件产品，每件产品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工，每件产品在每台设备上所需要的加工时间如下图所示，则加工总时长最短为分钟____________．
产品所需时间
甲
乙
三．解答题
17．计算：
18．解不等式组
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在矩形中，E，F分别是上的点，连接，，过点F作交于点G，连接，相交于点O．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
21．某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．
23．一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）：
b．二队成绩如下：
68 69 70 70 71 73 77 78 80 81
82 82 82 82 83 83 83 86 91 94
c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下：
平均数 众数 中位数
一队 79.6 77 P
二队 79.25 m q
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）；
(2)若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________；
A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大
C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小
(3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下：
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5
甲 90 94 90 94 91
乙 91 92 92 92 93
丙 93 90 92 93 k
若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________．
24．如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
25．为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下：
衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类
0 80 79
2 37 32
4 31 25
6 29 21
8 28 18
10 27 17
12 27 16
(1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象；
(2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）；
(3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）．
26．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于和点（点在点左侧），交轴于点，点是抛物线上一点．
(1)求的值及点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)若点抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当的长随的增大而减小时，求的取值范围．
27．如图，在中，，，D是边上的一点，E是中点，F是的中点，连接，射线绕点A顺时针旋转 ，得到射线，过点F作于点G，连接，取中点H，连．
(1)求证：；
(2)用等式表示，之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦”
(1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ；
(2)是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；
(3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值．
试卷第 1 页，共 1 页
北京市大兴区第七中学2025-2026学年九年级下学期数学第一次达标测试
参考答案：
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.
故选：B.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：用科学记数法将数据1450000000表示为
故选：B．
3．【答案】B
【解析】【解答】由数轴可得，，，，
、，原选项判断错误，不符合题意，
、，原选项判断正确，符合题意，
、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意，
、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意，
故选：．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：180°×（5-2）
=180°×3
=540°．
故选：D．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个，
∴买中“藕粉哪吒”的概率为，
故选：A．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，
∵，
∴，解得：，
综上，且，
只有C选项符合题意．
故选：C
7．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得，
OC为∠MAN的角平分线，
∵OA=OB，OC平分∠AOB，
∴OC⊥AB，
设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，
∵AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB，
∴AC=5，∠ADC=90°，AD=3，
∴CD=4，
∵，
∴，
解得，BE=，
故选B．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在中，，即，
在中，，即，
∴，
即，故①正确；
∵在中，，在中，，
∴，
又∵在中，，
∴，
即，
即，
∵，，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，
解得：，
∴的长是关于x的方程的一个实数根，故③正确；
综上①③正确．
9．【答案】
【解析】【解答】解：由题意，，
解得：；
故答案为：
10．【答案】
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
11．【答案】
【解析】【解答】解：
，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：．
12．【答案】
【解析】【解答】解：由表格可知，抽取的名学生中，一周综合体育活动时间在范围内的人数为：
该范围人数占样本容量的比例为，
因此估计该校名学生中符合条件的人数为：
故答案为．
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵正比例函数和反比例函数图象均是中心对称图形，
∴正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，
∵一个交点坐标是，
∴另一个交点为．
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接，则：，
∴，
∵的切线交的延长线于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
∵点E是的中点，交对角线于点F，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
16．【答案】
16
【解析】【解答】解：三件产品共有种不同的加工顺序，按规则分别计算总加工时长：
1． 顺序：
甲加工完成时间依次为，
乙加工开始时间取对应产品甲完成时间与上一产品乙完成时间的最大值，因此乙完成时间依次为：
，，，总时长为．
2． 顺序：
甲完成时间依次为，
乙完成时间依次为：，，，总时长为．
3． 顺序：
甲完成时间依次为，
乙完成时间依次为：，，，总时长为．
4． 顺序：
甲完成时间依次为，
乙完成时间依次为：，，，总时长为．
5． 顺序：
甲完成时间依次为，
乙完成时间依次为：，，，总时长为．
6． 顺序：
甲完成时间依次为，
乙完成时间依次为：，，，总时长为．
比较所有总时长，可得最短总时长为．
17．【答案】
【解析】【解答】解：原式
．
18．【答案】
【解析】【解答】解：，
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：．
19．【答案】
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20．【答案】(1)见解析
(2)
【解析】【解答】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由（1）知：四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】每本书籍厚度为
【解析】【解答】解：设每本书籍厚度为，桌子高度为，
由题意可得：，
解得，
答：每本书籍厚度为．
22．【答案】(1)，；
(2)m的取值范围是．
【解析】【解答】（1）解：∵函数的图象与直线平行，且经过点，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）知，，
原不等式组等价于在时恒成立，即在时恒成立；
需分情况讨论：当（即）时，恒成立；
当（即）时，不满足条件；
当（即）时，需满足，
解得，故．
综上，的取值范围是．
23．【答案】(1)82，
(2)D
(3)91或92
【解析】【解答】（1）解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多，
故众数，
二队成绩的中位数为，
∴，
故答案为：82，；
（2）解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小；
故答案为：D；
（3）解：甲选手的平均数为：，甲选手的方差为：，
乙选手的平均数为：，乙选手的方差为：，
丙选手的平均数为：，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．
∴，
解得，
∵k为整数，
∴当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时甲丙平均数一致，但是丙的方差更小，符合排名；
当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时乙丙平均数一致，但是乙的方差更小，符合排名；
∴k（k为整数）的值为92或91，
故答案为：92或91．
24．【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴是的切线；
（2）解：在中，，，
∴ ，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，
∴．
25．【答案】(1)见解析
(2)
(3)乙类；
【解析】【解答】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：由函数图象可知当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为，
故答案为：；
（3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，甲含P的最低量大于20，乙的最低含量可以小于20，
∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，
观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡，
故答案为：乙类；．
26．【答案】(1)，点的坐标为
(2)
(3)或
【解析】【解答】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
整理得，
解得，
∵点在点左侧，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵点的横坐标为，
∴，且，
∵轴，交直线于点，
∴，
∴，
设，则函数图象的对称轴为直线，
当时，，
解得，，
∴函数图象与横轴的交点为和，
画函数图象如下：
由函数图象可知，当或时，的值（即线段的长）随的增大而减小，
∴当的长随的增大而减小时，求的取值范围或
27．【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【解析】【解答】（1）证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；理由如下：
如图，延长至点，使，连接、、，
可知垂直平分，
∴，；
∵F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
由（1）知，，
∴，
，
；
∵，
∴；
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵E是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
28．【答案】(1)
(2)或
(3)或
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
∴关于直线的“对称弦”的是线段；
（2）解：设点，关于直线的对称点为,，
∴直线垂直平分，，
∵是关于直线的“对称弦”，
∴,在上，
∵点的坐标为，
即点在上，
∵直线经过圆心，
∴点也在上，
∵，
故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点；
∵，
即是等边三角形，
故点的横坐标为，点的纵坐标为，
同理，点的横坐标为，点的纵坐标为，
综上，点的坐标为或；
（3）解：设点关于直线的对称点为,
∴直线垂直平分，
∵线段是关于直线的“对称弦”，
∴在上，
由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上，
又∵，
即；
令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图：
令，则，即点，,
令，则，即点，，
则，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
即点的坐标为，
∵，；
∴，
整理得：，
解得：或，
故的值为或．
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