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,水百商三第五次学业水平联合检测
数学
本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自已的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
AGRGEEOASATAEF
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合M-(-10,1),N={x子0}，则MnN=
A.(0}
B.{0,1}
C.(-1,0
D.(-1,1)
2.已知z=亡1则z=
A+2：
R-克
C+
3.已知向量a=(,一1)，b=(1,十2)，若a∥b,则=
A.1
B.0
c-号
D.-1
4.已知圆台的上、下底面的半径分别为1,3，表面积为26π，则该圆台的母线长为
A.2
B.√13
C.4
D.2N5
5.在等比数列{am》中，a1十a2=4,3a2十2a8=a4,则as=
A.-162
B.1
C.32
D.81
6.若f(x)=cos(3x十p)(0<9<π)是奇函数，则在所有f(x)图像的对称轴中，与直线x=1
距离最近的一条是
Ax一晋
B.=
4
c.x=
D.x=x
2
y
了，已知双曲线C:-2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,以F为圆心的圆与C
的一条渐近线相切于点G,若|AG|=|FG引，则C的离心率为
A.3
B.2
C.5
D.√6
数学试题
第1页（共4页）
8.已知函数f(x)=ax1十bx2+1(ab≠0)，若任意斜率为一1的直线1与曲线y=f(我
且仅有一个公共点，则∫(x)在下列区间中一定不存在零点的是
A.(-子o]
B(-)
c.[o.)
(得别
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选列中，有多项将合惑博
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x1·z2,·,x6,其样本平均数为3，样本方差为6将数据，=8也添加铜
这组样本数据中，得到一组新样本数据x1·x2,·,x4x,则
A,两组样本的样本平均数一定相同
B.两组样本的样本极差一定相同
C,两组样本的样本中位数一定相同
D,两组样本的样本方差一定相同
10.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点均在球O(O为球心)的球面上，E为PC的中点，著
点A,O,E共线，则
A,△PAC是等边三角形
B.OD⊥BE
C.OC⊥平面BDE
D.球0与正四棱锥P-ABCD的体积之比为6π
9
1.已知抛物线Cy2-2x(0一条平行于x轴的直线与C1,C2分别交于P,Q两点，厕则
A1K92
B.四边形PF1F2Q的周长为定值
C当PQI=时，因边形PF,PQ的面积为号
D.当|QFI2-|PF22取得最大值时，PF2·QFi=一名
9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.没a6为正数，且日+号-3，测2a+6的最小值为
13.已知函数f(x)=1og(1+),则f(1)+f(2)++f(7)=_
14.已知等边△ABC的边长为3，D,E,F分别为边AB,AC,BC上的点，若∠DFE=60”、
BF=2CF,DF=3EF,则DE=2026届山东省高
叁君答案及解析
一、选择题 17.B【 析】设0为坐标原点,连接OG,因为以
1.B【解析】因为M=(-1,0,1),N=(x|-1< F为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点G
x<2),所以M0N=(0,1) 所以FG⊥OG,且由几何关系可知IOGI=a
1十i IFGI=b.又A为C的左顶点,故I0A =a,所
2.A【解析】因为x=一1=i-1)(i+1)
以当1AG1-IFG1时,∠AGO-∠OAG
i所 AG
/OFG,故△AOGCD△AGF,所以
CA
3.D【解析】因为a//b,所以4(k+2)一1×
AF G
(-1)=0,即(k+1)'=0,解得k=-1 设c为C的半集距,刚AG
4.C【解析】设圆台的母线长为L,因为圆台的
a(a+c)=b =c2-a ,整理得2-e-2=0
上、下底面的半径分别为1,3,表面积为26x
解得e=2或c=一1(不符合题章,舍去),故C
所以由圆分的表面积公式得x(17+37十1X
的商心率为2.
1+3×L)一26π,解得/-4,即该团台的母线长
为4 8.C【解析】设直线Z:y-一z+m,与y
5.D【解析】设等比数列(a.)的公比为a·则由 f(x)联立得ax3+bx2+x+1 m=0.个
3a,+2a:=a,得3a0+2a:02=a102,故 g(x)=ax*Ibx1Ix11 m,则g'(x)=
g2 2q3=0,解得g=1或Q=3.若g: 3az2一26r十1.当g(±)单调时,无论m 为何
1,则a:1a,=a,a:=0,不符合题意,舍 值,2(x)有且仅有一个客点,此时仟食斜本
去;若g=3,则a;+a:=4a1=4,故a1=1, 为1的直线(与曲线y=/(x)都有且仅有一
as=a1o*=3*=81. 个公共点.故应溢显△=4b'-12a≤0、即b2
6.A【解析】若f(z)=c0s(3z+g)(00.设b2=ka,故0<≤3、此H
是奇函数,则f(0)=c0s g=0,故g= f(±)=0可看作关于6的一元二次方弱
-b2+工'b+1=0.若该方程无解,则△=x
f(x)=co8(3x+ =一8in3x,其图像的对
0,解得0工
你轴方程为3x 十kπt是∈乙,即x ,因此若f(x)在区间
'点∈Z当k=O时,± )上存在零点。,则方程 一b当三1时,
,且<1 1=0有解,这与△<0时方程 62+b+1=62
一1,故与直线工=1距离最近的一条对称和 O无解矛后。x 二,日不=0不是[(g)的多
点,故f(x)在区间[0,二】上一定不存在零点
公点号青
数学 参考答案及解析
二、选择丽
11,BCD【解析】由 C:y2=2x|
9.AB【解析】因为样本数据x1,xz, ,xs的
样本平均数为3,且x:=3,所以样本数据x Cg:y2=—4x+8 x:, ,x,x,的样本平均数也为3,且极差相 0),F(1,0),设P(x1y),Q(xs,ya),
同,而中位数不一定相同,故 A.B正确,C钴
—4工中
误:设样本数据工工, ,x。的样本方差头 1十2其甲O≤
s{,样本数据x1,辽z, ,xs,x 的样本方差为
且由抛物线的定义可知丨PF,I
则 (x-8)2b.g1
F 工所
—3 {,故D铝误
F
10.ACD【解析】因为正四楼锥 P-ABCD的所
右面点均在球0的球而上,所以0P=0A
OB=OC=OD.因为E为PC的中点,所以 2.a41.(1F
OE⊥PC.又点A,O,E共线,所以AE⊥PC
F 所以边无
所以PA=PC=AC,即△PAC是等边三角
形,故 A正确:假设OD⊥BE,由题章可知 PFF:Q的周长为IPF|+|FF:|+IQF:I
ODLPB,则 OD1平面 PBC,故 ODIBC P工 一 立十 z 4
设正方形ABCD的中心为O,连接O0,则
Bih和.(
OO'I平面ABCD,故OOIBC,所以 BC
平面OBD,所以BC⊥BD,此情况不成立,故 ∴,则x:=1,]y|=√2.又IF;Fz[:
B错误:由题登可知OC1PA,许接OE,
故四边形PFF,Q是平行四边形,所以平行
OE为△PAC的中位线,故O'E/PA、所以 四边形PF,F,O的面积为|vI·IF,F。|=
OC1O'E.易知 OC1BD,所以 OC⊥平面 2
二,故C正确:不妨设点P,Q在第一象限
BDE,故C正确:不妨设 AB=2,则AC=
2/2.因为△PAC是等边三角形,所以 PO'= 则PF,=(1-x1,-2x),QF1=
√6,故正四楼锥P-ABCD的体积为x “,~√2x),所以|QF,I2-|PF,I2=
46
6 -又O为等边三角形PAC的重心 5)'—(1-x1)2=—一之(x 一之)十之,故当
26 二时,|QF,I1一|PF,|*取得最大值,此
所以球O的半径OA= 二,故球O的体积
646m 时PFi-(乏,-5),QFi-(-=,-=)
A 二。所以球0与正四棱镇2z
6π 所以PF÷·QFi=乏×(-3)+5=-5
P-ABCD的体积之比为 ,故D正确 故D正确
公点号青
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三、填空题 所以 EG 为△BCD,的中位线,
=3,所以2a十bt 所以EG//BD (4分【解析】因为二十
因为 EGC平面 CDE,BD,L平面CDE
=(2a+b)[二+一)= 4十十— 所以BD /平面 CDE (6分)
4+2 当目仪当
-时,等号成立,故2a+6的高
小值为
13.3【解析】因为f(x)=log:(1+
十
log =,所以f(1)+f(2)+ +f(7)=
g。 (2)解:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD
的方向分别为工轴、y轴、客轴的正方向,建
【解析】由已知条件得BF=2、CF=1.设 立空间直角坐标系
所以D(0,0,0).A:(2,0,4),C(0.2.0)
/BDF=6,则∠CEF=120°-0.在△BDF 中
DF BF C(0,2,4),E(1,2,0),故AC=(-2,2
由正弦定理得in6o sin6同理在ACE下 -4),DC=(0,2,4),DE=(1,2,0),(8分)
EF CE
中,由正弦定理得 ,故止 设平面CDE的法向量为m=(x,y,x)sin6o sin(12O°—G)
DC·班=O,
2sin(12o°—Q) (2y十4之=O
以上两式得
gin8 =3,即 2sin Q;
(9分
DE·m=O x十2y=Q
√3cos0.又 sin20+cos20=1,所以 sin0: 令z=1,得x=4,y=-2,则m=(4,-2,1),
2 DF BF (1O分
故由sin6o sin6,得 DF=√7,故 设直线A;C与平面C,DE所成的角为0,
AC。m
EF “,所以在△DEF中,由余弦定理得 则 sin Q=1eos(AC,m》I AClm
DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos 60°= 1(-2)×4+2×(-2)+(-4)×1l4√14
4g y4+4+16×A16+4+1 2
,故DE
所以直线A;C与平面CDE所成角的正弦
四、解答题
44
15.(1)证明,如图.许接CD、交C.D干点G.诗 值为 (13分2
搜EG 16.解:(1)由题查得b=1.日由C的体点F(-1
因为正 四楼柱 ABCD-A,B,CD,的侧面 0)可知C的半焦距c=1. (2分)
CC,D;D是矩形, 又a2=b2+e'=2, (4分
所以G为CD,的中点, (2分
所以C的方程共
又E为BC的中点, (5分)
公盘号。青
数学 参在及
(2)当2垂直于x轴时,显然BP不与BQ垂
法-:所以E(X)=0×
直,不符合题意 (6分)
当1不垂直于x轴时,设直线L的方程为y (7分
k(x+1)(k≠1),P(x1,y),Q(xtyz)
法二因为
联立 得(1+2k2)x2+4k2x+
(x十1) 所以E(X) (Z分)
2k2—2=O (8分)
CtC
4 2 (2)根据数查得P(7m2)
则十工 1+2k5± z (9分) C1十2i
又 BP⊥BQ,则BF,B6=0 3m(m—1) (1o分)
2(2m—1)(2m—3)
又BF=(x1,y1-1),BQ=(xx,yx-1)
即 z1x:+(y-1)(yx-1)=0, 由(1)可知 P(X=2)
则(1+k2)x:x,+(b2-女)(±;+x+)+k2 故应满足1P(Z=2)-P(X=2)I
2k十1=O. (分 3m(m—1)
4 2点Z—2
代入工十工 = I2(2m—1)(2m—3)i+26Zzizz 1十2Z 12m—g
理得 3k2—2k—1=0. (13分) 即'8(2m—1)(2m—3)
解 整理得加2一17m+12之0,口1(合去) (13分)
1Z十√24
解得m (14分)
所以(的方程为3 一
因为m 是正整数,所以网的最小值为17
即 十3y十1=O (15分
17,解:(1)根据题意得X的所有可能取值为0, (15分
1,2,3,4, 18.(1)解:根据题意得广(x)=(x十a十1)e
(2分)
其中 P(X=O)=Cix1 (1分
当x<-a一1时,f'(x)<0,f(x)单调递减
P(X=1)=Ci×(之)= (2分 当x>一a一1时,f'(±)>0,f(x)单训递增
故f(工)的单谓递减区间为(一o0,
P(X=2)=Ci×(÷)'=乏 (3分 单调递增区间为(一a=1,+oo) (4分
(2)解:当一1S3S1时 f(g)e
P(X=3)=C×(÷)'=一 (4分
P(X=4)=CiX{. ()e《5分 (5分
则X的分布列为 e十gg十1e
盘2 (6分
由(1)可知x一a一1是f(x)的极小值点
(6介 且极小值为f(一a一1)=-c--1十1
公点号青来
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又2—ea =时,—a—1EL=1,1] 19,(1)解;xg (1分)
故f(x)在区间[一1,1]上的最小值为一e~-1+ =y5 (2分)
1,且满足=e--1+1≥ 可知{x,)是最小正周期为3的周期数列,故
也是最小正周期为3的周别数列,且
敬a=ln(e—1) (8分)
综上,a 的取值范困是 33
xzas x 3 (3分
(g分)
故艺⊥_2O26√5 (4分
(3)证明:当s≤xst时,e≤f(x)≤e
则f(s)2e,f(t)≤e, (o分) (2)证明:由题查知对任章的n∈N”,都有
故1-e~*+lne~'(11分) 若存在p∈N*,且p>2,使得x。<0,且由
令g(x)=1-x+lnx,则g'(x)=-1+
x1>0,可得±+1-2x—(x{十1)x一O
故由x1>0,x,<0,x+>0,可知此时{x】
当00,g(x)单调递增 不是单调数列 (5分)
(x。—xi)2十xi±2
当x>1时、g'(x)<0,8(x)单调递减 根据意得
十
因为se-,且g(c-)≤g(c-)
若对任章的π∈N',都有x。之0
故e1 (13分
设c-=x>1,T≠xt且g(x1)=g(xa): — 为单调教列,(x.}也为单词教列,月则由上可知01 ,为课减数列,{3。}为递增数列令g(x)=g(x)-g(2-x)=lnx-In(2 (±。—xi)十xix)—2x十2, 十 ix2(工—1)2则g(x)= (Z分2 工(2—g
当00,g(x)单调递增, 所以
故g(xz)=g(xx)-g(2-xt)=g(x)·
龙
g(2-±s)即g(±1)因为g(x)在区间(1,十oo)上单词递减,
所以x>2一xz, 故当政大于 的整数时,工+<0
即x 十x 2. (5分 这与对任意的n∈N”,x。之0矛盾,
因为g(x1)=g(xx)≤g(e-1), 故(x。)不是单调数列, (g分
所以x,≤c'2 (8)证照,设加是进早工-一工,成立的
又e->1,故2o-+e-r>3 (17分) 的最小值,
5
公盘号。青
数学 参带签案及解材
则g+三工 由
(工f十1)工4
x (Z工 +i—工1
2T —(xi十1)x
所 以
工 x 盘
(十1)x (x十1)x
3(乙x+=x x(Zx工
2
址
m,2
类似地得 一 互 工
(分) 因为对任意满足x=x,成立的m均为m,
的整数倍,
假设m,为仙数,则-
工王十立等十
所以乏工 (15分)
即立号十工it (12分) i
假设存在k,∈N*,且k,≥2,使得x学+1 xi (xi十1)x。
由x十 存
xx等十 斗 _目 2x,—(xi十1)x
x三+,产x,
工一
则与 2x —(x{+1)x字+s- 所以是(zi土1)互 十1
五
2x -(x{+1)xa- =工a,这与x学+t,子xu
工
矛盾,
所以对任意的k∈N',x子+一工k
这表示 二是比m,更小的满足工。+t=x:成
立的m 的值,导致矛盾,
故 m,应为奇数,即 m 的最小值是奇数.
(13分) 所以工1工2, ,王。的算术平均数小
显然加,一1不满是条件,故如,字3, (1Z分)
公点号青来

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