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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）20.1第1课时勾股定理第20章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.新人教版八年级下册20.1第1课时勾股定理班级：________姓名：________得分：________【课前回顾】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a + b = c 。注：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用。一、选择题（每题10分，共30分）1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，72.已知直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（）A. 10 B. 14 C. 20 D. 483.若直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边长为（）A. 8 B. 12 C. 18 D. √194二、填空题（每题10分，共30分）1.勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于________的平方。2.一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的长为________。3.若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为________。三、解答题（每题20分，共40分）1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，求c的长；若a=7，c=25，求b的长。2.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，求对角线AC的长度（提示：长方形的四个角都是直角，对角线相等）。参考答案提示：一、1.C（解析：5 + 12 = 13 ，符合勾股定理）2.A（解析：6 + 8 = 10 ）3.B（解析：13 - 5 = 12 ）二、1.斜边2.5 3.8三、1.当a=5，b=12时，c = 5 + 12 = 25 + 144 = 169，故c=13；当a=7，c=25时，b = 25 - 7 = 625 - 49 = 576，故b=24。2.由长方形性质可知，∠B=90°，△ABC为直角三角形，AB=3cm，BC=4cm，AC = AB + BC = 3 + 4 = 25，故AC=5cm。1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想．
3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点）
2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点）
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
它由哪些基本图形组成？
你见过这个图案吗？
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
知识点1：勾股定理认识及验证
观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
A
B
C
（图中每一格
代表 1 cm2）
R
Q
P
A
C
B
如图，在等腰三角形 ABC 中，∠C = 90°，以 AC 为边作正方形 P，以 BC 为边作正方形 Q，以斜边 AB 为边作正方形 R.观察图形进行填空.
合作探究
正方形 Q 的面积是_____个单位面积；
正方形 P 的面积是_____个单位面积；
正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面积是_____个单位面积.
1
1
2
2
（图中每一格
代表 1 cm2）
SP + SQ = SR
R
Q
P
A
C
B
AC2 + BC2 = AB2
等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的面积.
请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索 (每个小正方形的面积为单位 1)：
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
双击图标开始演示几何画板
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？
验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
b- a
证明：
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
b
b
c
c
∴ a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c 为正数
a
b
c
归纳总结
勾股定理
公式变形
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
知识点2：利用勾股定理进行计算
例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长.
解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB ＝AC ＋BC ＝8 ＋6 ＝100，
B
6
8
A
C
E
D
F
15
17
所以 AB＝10.
(2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE ＋EF ＝DF ，
从而 DE ＝DF －EF ＝17 －15 ＝64，
所以 DE＝8.
(1)
(2)
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9
1.
如图为由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________．
25
34
SA＋SB＝SC
2.
(4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理．
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3.
C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(　　)
A．2
B．4
C．8
D．9
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4.
B
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(　　)
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5.
B
[教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(　　)
勾股定理
内容
符号语言：
在Rt△ABC 中，
∠C = 90°，
______________
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
a2 + b2 = c2.
a
b
c

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