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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）21.3.1第2课时矩形的判定第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.新人教版八年级数学下册21.3.1第2课时矩形的判定练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（）A.有一组对边平行B.有一组邻边相等C.有一个角是直角D.对角线互相平分2.下列说法正确的是（）A.有四个角是直角的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形3.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=BD，则 ABCD是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.无法确定4.能判定四边形ABCD是矩形的是（）A. AB∥CD，AD=BC B. AB=CD，AD∥BC C.四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°D.四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是矩形，其依据是（）A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是矩形二、填空题（每题3分，共15分）1.矩形的判定方法1：有一个角是________的平行四边形是矩形（定义）。2.矩形的判定方法2：对角线________的平行四边形是矩形。3.矩形的判定方法3：有________个角是直角的四边形是矩形。4.在 ABCD中，若∠A=90°，则 ABCD是________，依据是________。5.若平行四边形的对角线长分别为6cm和8cm，则该平行四边形________（填“是”或“不是”）矩形。三、解答题（共70分）1.（10分）求证：有一个角是直角的平行四边形是矩形（利用平行四边形的性质证明）。2.（15分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，求证： ABCD是矩形。3.（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形，且对角线AC=BD。4.（15分）已知：如图，在 ABCD中，∠ABC=90°，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AEFD是矩形。5.（15分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE，求证：四边形ABEC是矩形。参考答案：一、选择题：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C二、填空题：1.直角2.相等3.三4.矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形5.不是三、解答题：1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。又∵∠A=90°，∴∠B=180°-90°=90°。由平行四边形对角相等，得∠C=∠A=90°，∠D=∠B=90°。∴平行四边形ABCD的四个角都是直角，∴ ABCD是矩形。2.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB。又∵AC=BD，BC=CB（公共边），∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠ABC=∠DCB。又∵∠ABC+∠DCB=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠ABC=∠DCB=90°。∴ ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。3.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。∵矩形的对角线相等，∴AC=BD。4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE= AB，DF= CD，∴AE=DF，且AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形。又∵∠ABC=90°，AB∥CD，∴∠AEF=∠ABC=90°，∴四边形AEFD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。5.证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。又∵DE=AD，∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∵AB=AC，AD是BC中线，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠ADB=90°，∴∠AEB=90°，∴四边形ABEC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
问题1 上节课我们已经知道：
思考 你能证明这一猜想吗？
矩形的对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形？
逆命题
知识点1： 矩形的判定
探究新知
问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
猜想 对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义).
已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证一证
归纳总结
矩形的判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在□ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ □ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
典例精析
　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
练一练
知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
例2 如图， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD +∠ADC = 180°.
又 AE 与 DF 分别为∠BAD、
∠ADC 的平分线，
∴ 四边形 EFGH 为矩形.
同理 ∠H =∠AEB = 90°，
∴∠F = 90°.
∴∠DAF +∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
∴∠FEH =∠AEB = 90°.
∴ AB∥CD.
= (∠BAD +∠ADC) = 90°.
典例精析
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．
求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠ADC = 90°.
在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，
∴ AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
练一练
返回
A
1.
四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．∠B＝∠D
D．AB＝BC
2.
(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
返回
证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB.
又∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△BOC，∴AD＝BC.
∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
返回
3.
D
[2025德阳中考]如图，要使 ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)
A．AB∥CD
B．AB＝BC
C．∠B＝∠D
D．AC＝BD
返回
4.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB.
∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
(4分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是矩形．
5.
(4分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
返回
解：四边形AECF是矩形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
当堂小结
矩形
角
______________的四边形是矩形
_________的平行四边形是矩形
有一个角是直角
有三个角是直角
对角线
的平行四边形是矩形
对角线相等
__________________
判定定理
矩形的定义

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