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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）21.3.2第1课时菱形的性质第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.新人教版八年级数学下册21.3.2第1课时菱形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于菱形的定义，正确的是（）A.有一组对边平行的四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.有一个角是直角的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的四边形是菱形2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.对边平行且相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直，且四条边相等3.如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，则AD的长度为（）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm4.已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则OA的长为（）A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=90°，AB=5，则菱形的周长为（）A. 10 B. 20 C. 25 D. 40二、填空题（每题3分，共15分）1.菱形是特殊的________，它具有平行四边形的所有性质。2.菱形的四条边都________。3.菱形的对角线互相________，且每条对角线平分一组________。4.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，若∠ABO=30°，OA=2cm，则AB=________cm。5.若菱形的边长为6cm，一条对角线长为6cm，则该菱形的另一条对角线长为________cm。三、解答题（共70分）1.（10分）求证：菱形的四条边都相等（利用平行四边形的性质证明）。2.（15分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AC⊥BD，且AC平分∠BAD。3.（15分）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，对角线AC=12cm，求对角线BD的长度及菱形的面积。4.（15分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD=60°，AB=6cm，求菱形的周长和对角线AC的长度。5.（15分）如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，且AE=AD，连接DE，求证：∠ADE=∠CDE。参考答案：一、选择题：1.B 2.D 3.C 4.A 5.B二、填空题：1.平行四边形2.相等3.垂直，对角4. 4 5. 6√3三、解答题：1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）。又∵菱形有一组邻边相等，不妨设AB=AD，∴AB=AD=CD=BC。∴菱形的四条边都相等。2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。又∵AO=AO（公共边），∴△AOB≌△AOD（SSS）。∴∠AOB=∠AOD，∠BAO=∠DAO。∵∠AOB+∠AOD=180°（邻补角互补），∴∠AOB=∠AOD=90°，即AC⊥BD。又∵∠BAO=∠DAO，∴AC平分∠BAD。3.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA= AC，OB= BD（菱形对角线互相垂直且平分）。∵AC=12cm，∴OA=6cm。在Rt△AOB中，AB=10cm，OA=6cm，由勾股定理得OB=√(AB -OA )=√(10 -6 )=√64=8cm。∴BD=2OB=16cm。菱形的面积= ×AC×BD= ×12×16=96cm 。答：对角线BD的长度为16cm，菱形的面积为96cm 。4.解：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边相等，即AB=BC=CD=AD=6cm。∴菱形的周长=4×6=24cm。∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6cm。又∵菱形对角线互相垂直平分，∴AO= AC，BO= BD=3cm。在Rt△AOB中，AO=√(AB -BO )=√(6 -3 )=√27=3√3 cm，∴AC=2AO=6√3 cm。答：菱形的周长为24cm，对角线AC的长度为6√3 cm。5.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，AB∥CD，∴∠AED=∠CDE（两直线平行，内错角相等）。又∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED（等角对等边）。∴∠ADE=∠CDE。1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？
(1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法.
A
B
C
D
O
边特殊化
A
B
C
O
D
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量
上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角.
活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形 (如图)，并回答以下问题：
是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，
指出它的对称轴.
证一证
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
A
B
C
O
D
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
求证：(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，
∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，
∠ABD =∠CBD.
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
A
B
C
O
D
(2) ∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，OB = OD，
∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC.
同理可证∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形的性质
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分
边：
对角线：
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD，
∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
思考 请同学们拿出剪好的菱形纸片，折一折，观察并思考. 菱形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
菱形的性质：
对称性： 图形，
对称轴： 条，
是________所在的直线.
轴对称
2
A
B
C
D
还能得出菱形的什么结论？
对角线
菱形被分割为四个全等的直角三角形
典例精析
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)．
知识点2：菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢
能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
则 S菱形ABCD = 底×高 = BC · AE.
E
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·(BO + DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
A　
B　
C　
D　
O　
例5 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后两位) 和花坛的面积(结果保留小数点后一位) .
典例精析
A　
B　
C　
D　
O　
∴ 花坛 ABCD 是菱形，
解：∵ 设 AC，BD 相较于点O，
花坛的两条小路长
花坛的面积
S菱形ABCD= 4×S△ABO
在Rt△OAB 中，
返回
5
1.
如图，在 ABCD中，AB＝5，当AD＝______时，四边形ABCD是菱形．
返回
2.
C
如图，菱形ABCD的对角线AC在x轴上，BD交x轴于点E，已知A(1，0)，D(3，5)，则点B，C的坐标分别是(　　)
A．(5，－3)，(5，0)
B．(3，－5)，(4，0)
C．(3，－5)，(5，0)
D．(－3，5)，(4，0)
返回
3.
B
菱形具有而矩形不具有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角相等
D．是中心对称图形
返回
4.
D
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，则∠ADB的度数是(　　)
A．110°
B．70°
C．45°
D．35°
返回
5.
C
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．12
B．15
C．20
D．24
返回
6.
B
[2025常州中考]如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是(　　)
A．4
B．5
C．6
D．10
当堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = __________________
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边______
两组对角分别_____，邻角互补
1. 两条对角线互相_________；
2. 每一条对角线平分一组对角
相等
相等
垂直平分
两条对角线乘积的一半

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