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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）21.3.3正方形第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.新人教版八年级数学下册21.3.3正方形练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于正方形的定义，正确的是（）A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形B.有一个角是直角的平行四边形是正方形C.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形2.正方形具有而菱形不具有的性质是（）A.四条边都相等B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角3.正方形具有而矩形不具有的性质是（）A.四个角都是直角B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对边平行且相等4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法错误的是（）A. OA=OB B. AC⊥BD C. ∠OAB=45°D. AC=AB5.能判定四边形ABCD是正方形的是（）A.四边形ABCD是矩形，且对角线互相垂直B.四边形ABCD是菱形，且对边平行C.四边形ABCD是平行四边形，且对角线相等D.四边形ABCD是平行四边形，且有一组邻边相等二、填空题（每题3分，共15分）1.正方形是特殊的________，也是特殊的________，它具有矩形和菱形的所有性质。2.正方形的四条边都________，四个角都是________角。3.正方形的对角线________、互相________且互相平分。4.在正方形ABCD中，对角线AC=8cm，则边长AB=________cm。5.若正方形的边长为6cm，则它的对角线长为________cm，面积为________cm 。三、解答题（共70分）1.（10分）求证：正方形的四个角都是直角，四条边都相等（利用正方形的定义证明）。2.（15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AC=BD，且AC⊥BD，OA=OB=OC=OD。3.（15分）如图，在正方形ABCD中，AB=10cm，求对角线AC的长度、正方形的周长和面积。4.（15分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：矩形ABCD是正方形。5.（15分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠A=90°，求证：菱形ABCD是正方形，且对角线AC=BD。参考答案：一、选择题：1.C 2.C 3.C 4.D 5.A二、填空题：1.矩形，菱形2.相等，直3.相等，垂直4. 4√2 5. 6√2，36三、解答题：1.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。∵平行四边形对边相等，且有一组邻边相等，∴四条边都相等；∵平行四边形邻角互补，且有一个角是直角，∴四个角都是直角。综上，正方形的四个角都是直角，四条边都相等。2.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD既是矩形也是菱形。∵矩形的对角线相等，∴AC=BD；∵菱形的对角线互相垂直，∴AC⊥BD；∵平行四边形的对角线互相平分，∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD。3.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=10cm。在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√(AB +BC )=√(10 +10 )=√200=10√2 cm。正方形的周长=4×AB=4×10=40cm，面积=AB×BC=10×10=100cm 。答：对角线AC的长度为10√2 cm，周长为40cm，面积为100cm 。4.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC=BD，且OA=OC= AC，OB=OD= BD，∴OA=OB。又∵AC⊥BD，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°。∵矩形的四个角都是直角，∴∠DAB=90°，∴∠OAD=∠DAB-∠OAB=45°，∴∠OAB=∠OAD，又∵AC⊥BD，∴AB=AD（等腰三角形三线合一）。∵矩形的一组邻边相等，∴矩形ABCD是正方形。5.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边相等，即AB=BC=CD=AD。又∵∠A=90°，∴菱形ABCD是有一个角是直角的菱形，∴菱形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。∵正方形是特殊的矩形，矩形的对角线相等，∴AC=BD。1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
知识点1： 正方形的性质
探究新知
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结
归纳总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
总结
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
韦恩图：
角：
对角线：
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分
正方形的性质
正方形的四个角都是直角
正方形的对角线垂直且相等
边：
归纳总结
正方形的四个边都是相等
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4 条
A
B
C
D
典例精析
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方
形分成四个全等的等腰直角三角形.
同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图正方形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
A
B
C
D
O
A
D
C
B
O
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都
是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
分析：
要判断一个三角形是等腰直角三角形的条件是什么？判定两个三角形全等的条件又是什么？
练一练
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
知识点2： 正方形的判定
问题 你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
想一想
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角
线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！
常用的正方形判定方法：
归纳总结
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
又∵∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF)
= 180° - (∠AEN+∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
∴ 四边形 EFMN 是正方形.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形的性质：
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
返回
3.
C
[教材P86复习题T1(4)变式]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE的度数是(　　)
A．55°
B．60°
C．75°
D．80°
返回
4.
D
[2025广州花都区一模]如图，正方形ABCD的边长为4，点B的坐标是(3，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标是(　　)
A．(－1，5)
B．(3，3)
C．(5，3)
D．(3，5)
返回
5.
A
当堂小结
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等

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