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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）第19章小结与复习第19章二次根式授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.新人教版八年级下册第19章二次根式小结与复习班级：________姓名：________得分：________一、本章核心知识点梳理（一）二次根式的概念1.定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中a叫做被开方数，必须满足a≥0（被开方数为非负数），否则二次根式无意义。2.关键点：①含有二次根号“√”；②被开方数是非负数；③二次根式的结果也是非负数（√a≥0，a≥0）。（二）二次根式的性质1.非负性：√a≥0（a≥0），若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（如√a + b = 0，则a=0，b=0）。2.核心性质：（1）(√a) = a（a≥0）；（2）√(a ) = |a| = a（a>0），0（a=0），-a（a<0）；3.易错点：区分(√a) 与√(a )，前者要求a≥0，后者a为任意实数，结果为a的绝对值。（三）二次根式的运算1.乘法法则：√a·√b = √(ab)（a≥0，b≥0），逆向运用：√(ab) = √a·√b（a≥0，b≥0）（用于化简）。2.除法法则：√a÷√b = √(a/b)（a≥0，b>0），逆向运用：√(a/b) = √a÷√b（a≥0，b>0）（用于化简）。3.最简二次根式：满足两个条件①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。（化简二次根式的最终结果必须是最简二次根式）4.加减运算：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（只有被开方数相同的最简二次根式才能合并，合并方法与合并同类项类似）。5.混合运算：遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序；能运用平方差公式（(a+b)(a-b)=a -b ）、完全平方公式（(a±b) =a ±2ab+b ）简化运算。二、易错点警示1.忽略被开方数的非负性，如√(-5)无意义，√(x-2)中需满足x≥2。2.化简√(a )时，忽略a的符号，如a<0时，√(a )=-a，而非a。3.同类二次根式判断错误，如√2与√8（化简后为2√2）是同类二次根式，√2与√3不是。4.混合运算顺序错误，先算加减后算乘除；或运用公式时出错。三、巩固练习题（一）选择题（每题10分，共30分）1.下列各式中，是二次根式且有意义的是（）A. √(-3) B. √(x +1) C. 4 D. √(2-x)（x>2）2.下列计算正确的是（）A. √8 - √2 = √6 B. (√3) = 3 C. √2×√3 = √5 D. √(4 ) =±43.化简√(12) - √(1/3) + √3的结果是（）A. (8√3)/3 B. 2√3 C. 3√3 D. (4√3)/3（二）填空题（每题10分，共30分）1.若√(x+5) + (y-3) = 0，则x+y = ________。2.化简：√(27) - √(12) + √(48) = ________。3.计算：(√5 - 2)(√5 + 2) = ________。（三）解答题（每题20分，共40分）1.计算下列各式（结果化为最简二次根式）：（1）√18×√3 - √24÷√2（2）(√6 - √3) + (√2 + √3)(√2 - √3)2.先化简，再求值：(√3 + √2) - √12×√(1/2)，其中√6≈2.449（结果保留两位小数）。四、参考答案（一）选择题：1.B 2.B 3.A（二）填空题：1.-2 2.5√3 3.1（三）解答题：1.（1）√54 - √12 = 3√6 - 2√3；（2）(6 - 2√18 + 3) + (2 - 3) = 9 - 6√2 - 1 = 8 - 6√2；2.原式= (3 + 2√6 + 2) - √6 = 5 + 2√6 - √6 = 5 + √6 ≈ 5 + 2.449 ≈ 7.45。单元结构图
二次根式
定义
性质
二次根式的化简和运算
___________
我们学过哪些二次根式的运算？运算法则是什么？
二次根式有哪些性质？
二次根式运算的结果一般要化成什么形式？
回顾整个单元的学习内容，补充单元结构图：
1. 二次根式的定义：一般地，形如______(a≥0) 的式子叫做二次根式.
a≥0
知识回顾
a (a≥0)
-a (a＜0)
＝_____(a≥0)
＝_____(a≥0)
2. 二次根式的性质
拓展：
双重非负性：① _____；②_____
a
a
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数中不含_______；
(2)被开方数中不含能__________的因数或因式．
开得尽方
分母
4. 二次根式的运算法则
a. 乘法：_______＝______(a≥0，b≥0)；
除法： ______ ＝_______(a≥0，b＞0)
b. 加减法：可以先将二次根式化成_____________，
再将________________的二次根式进行合并.
被开方数相同
最简二次根式
c. 混合运算：先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
考点一 二次根式有意义的条件与性质
当式子由“二次根式+分式”构成，则其有意义的条件：
① 被开方数大于或等于零；
② 分式的要保证分母不为零.
(3) a 为全体实数.
(4) a≥0 且 a ≠ 1.
例1 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
答案：(1)
(2)
例2 若 = ( )2 ，则 x = _________.
分析：
±2023
例3 若 求 的值.
分析：
x - 1 = 0，
3x + y - 1 = 0
x = 1，y = -2
总结
初中阶段主要涉及三种非负式： ≥0，| a |≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
例4 下列二次根式是最简二次根式的是( )
C
含可开方的因式
被开方数为分数
一、核心知识巩固
考点1 函数及相关概念
1.函数 自变量的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
2.下列关系式中，不是 的函数的是( )
C
A. B.
C. D.
（第3题）
3.如图，有一个近似为球形的容器，小海在往容器里注水
的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量 是
三个变量.下面四种说法：
是的函数；是的函数；是的函数；是
的函数.
其中正确的是( )
B
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
4.按如图所示的方式摆放的餐桌和椅子，用来表示餐桌的张数，用 来
表示座位数，则与 之间的关系式是___________,其中常量是___，变
量是______.
（第4题）
2
与
考点2 用函数图象刻画变化问题
5.[2024·广安] 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开
始计时，直至把容器注满.在注水过程中，设容器内底部所受水的压强
为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于 的函数图象大致
为( )
B
A. B. C. D.
6.已知某同学家、体育场、图书馆
在同一条直线上.下面的图象反映的
过程是：该同学从家跑步去体育场，
在那里锻炼了一阵后又步行回家吃
早餐，饭后骑自行车到图书馆.图中
①体育场离该同学家 ；
②该同学在体育场锻炼了 ；
③该同学跑步的平均速度是步行的2倍；
④若该同学骑行的平均速度是跑步的1.5倍，则 的值是3.75.
其中正确结论的个数是___.
3
用表示时间， 表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论：
考点3 一次函数的图象与性质
7.若直线是常数，经过第一、三象限，则 的值可能为
( )
D
A. B.
C. D.2
8.[2024·菏泽定陶区期末] 将直线 向上平移2个单位长度后得到
直线，则下列关于函数 的说法正确的是( )
C
A.图象经过第一、二、四象限 B.图象与轴交于
C. D.随 的增大而减小
9.[2024·苏州常熟市期末] 一次函数与
，为常数， 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
C
A. B. C. D.
10.[2024·长春] 已知直线（，是常数）经过点，且
随的增大而减小，则 的值可以是_________________.（写出一个即可）
2（答案不唯一）
11.[2024·福州长乐区期中] 已知点， 在一次函数
的图象上，当时，有，则 的
取值范围是_______.
考点4 确定一次函数的解析式
12.[2024·石家庄藁城区期末] 如图，一次函数
的图象经过平面直角坐标系中四个点：
，，， 中的任意两个，
则符合条件的 的最大值为( )
B
A.4 B.2 C.1 D.
13.[2024·东营] 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量
的一次函数.一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为
时，弹簧长.当所挂物体的质量为 时，弹簧的长度为____
.
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