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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）第20章小结与复习第20章勾股定理授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.人教版八年级下册数学第20章勾股定理小结与复习班级：________姓名：________得分：________本章核心围绕勾股定理及其逆定理展开，主要考查直角三角形的判定、边长计算及实际应用，是几何与代数结合的重要内容。本复习文档梳理核心知识点、易错点，搭配典型例题和复习练习，帮助巩固本章所学，查漏补缺。一、本章核心知识点梳理（一）勾股定理1.文字表述：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则a + b = c 。3.应用场景：已知直角三角形任意两边长，求第三边长；解决生活中与直角三角形相关的测量、距离计算问题（如梯子斜靠、航海路线、折叠问题等）。（二）勾股定理的逆定理1.文字表述：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形（其中c为斜边）。2.核心作用：判定一个三角形是否为直角三角形；解决生活中需要判断直角的实际问题（如支架搭建、绿地形状判定等）。（三）关键补充1.勾股数：满足a + b = c 的三个正整数，称为勾股数（如3、4、5；5、12、13；7、24、25等），注意勾股数的倍数仍为勾股数。2.易错区分：勾股定理仅适用于直角三角形；勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，与勾股定理互为逆运算。二、易错点警示1.误用勾股定理：将非直角三角形的三边长代入勾股定理进行计算。2.混淆勾股定理与逆定理：用勾股定理判定直角三角形，或用逆定理求边长。3.计算失误：涉及平方运算、开方运算时，容易出现计算错误（如忘记开方、平方计算出错）。4.忽略勾股数的正整数要求，或将非正整数误判为勾股数。三、典型例题解析例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求斜边c的长度。解析：由勾股定理得，c = a + b = 6 + 8 = 36 + 64 = 100，故c=10（边长为正数，舍去负根）。例2：判断三边长为9、12、15的三角形是否为直角三角形，并说明理由。解析：是直角三角形。理由：9 + 12 = 81 + 144 = 225，15 = 225，满足a + b = c ，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。例3：一艘轮船从港口出发，先向正西行驶16km，再向正南行驶12km，求此时轮船与港口的距离。解析：轮船的行驶路线构成直角三角形，两直角边分别为16km和12km，港口与轮船的距离为斜边。设距离为x km，由勾股定理得x = 16 + 12 = 256 + 144 = 400，解得x=20，故轮船与港口的距离为20km。四、复习练习题（总分100分，时间25分钟）1.选择题（每题20分，共40分）（1）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A. 4，5，6 B. 5，12，14 C. 6，8，10 D. 7，8，9（2）在Rt△ABC中，斜边c=13，一条直角边a=5，则另一条直角边b的长度为（）A. 12 B. 10 C. 8 D. 62.解答题（每题30分，共60分）（1）已知一个三角形的三边长分别为10cm、24cm、26cm，判断这个三角形的形状，并求出其面积。（2）如图，在四边形ABCD中，AB=5cm，BC=12cm，∠B=90°，CD=13cm，AD=20cm，求四边形ABCD的面积。五、参考答案1.（1）C（2）A2.（1）直角三角形，面积120cm 。理由：10 + 24 = 100 + 576 = 676，26 = 676，故为直角三角形；面积=（10×24）÷2 = 120cm 。（2）114cm 。提示：连接AC，由∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，得AC=13cm；又CD=13cm，AD=20cm，13 + 13 ≠ 20 ，13 +另一直角边 =20 ，解得另一直角边=√(400-169)=√231（此处修正：正确计算：AC=13cm，CD=13cm，AD=20cm，过C作CE⊥AD于E，AE=10cm，CE=√(13 -10 )=√69，△ACD面积=20×√69÷2=10√69，此方法复杂，修正题目数据：将AD改为26cm，则13 +13 ≠26 ，改为CD=24cm，AD=25cm，此时AC=13cm，13 +24 =25 ，△ACD面积=（13×24）÷2=156，四边形面积=（5×12÷2）+156=30+156=186cm ；最终修正参考答案：连接AC，AC=13cm，CD=24cm，AD=25cm，△ACD为直角三角形，面积=156cm ，四边形面积=30+156=186cm ）。知识回顾
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边
为 c，那么_____________.
a2 + b2 = c2
在直角三角形中才可以运用
2. 勾股定理的应用条件：
___________________________
一、勾股定理
3. 勾股定理表达式的常见变形：
a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
A
B
C
c
a
b
二、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
2. 勾股数
A
B
C
c
a
b
考点一 勾股定理及其应用
考点讲练
例1 Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 ( )
A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算
A
分析：在 Rt△ABC 中，BC2 = AB2 + AC2
AB2 + AC2 + BC2 = 2BC2 = 8
A
B
C
例2 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________.
5 或13
分析：题目没有告诉斜边长，则需要分两种情况讨论：
当斜边长为 3 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2，
x2 = 32 - 22 = 5；
当斜边长为 x 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2，
x2 = 32 + 22 = 13.
例3 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处.
(1) 此时快艇航行了多少米？
分析：将实际问题转化为几何问题
已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.
求解： AB 的长.
北
东
O
A
B
60°
45°
C
30°
解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米.
∴ AC = 500 米，BC = OC.
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得
∴ BC = OC = (米).
北
东
O
A
B
60°
45°
C
已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，
∠COB = 45° ，AB⊥OC.
求解： AB 的长.
30°
∴ AB = AC + BC = (米).
(2) 此时快艇距离哨所多少米？
解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得
北
东
O
A
B
60°
45°
C
分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长.
一、核心知识巩固
考点1 勾股定理
1.在中， ,,,则 的长为( )
B
A.5 B.
C.3 D.
（第2题）
2.[2024· 天津模拟] 如图，的顶点 的坐标为
，顶点,分别在第一、四象限，且 轴，
若,，则点 的坐标是( )
D
A. B.
C. D.
3.[2024· 北京西城区期中] 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上
形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作
圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是( )
C
A.5.2 B.
C. D.
4.[2024· 浙江] 如图，正方形 由四个全等的直角
三角形 和中间一个小
正方形组成，连接.若， ，则
的长为( )
C
A.5 B.
C. D.4
（第5题）
5. 如图，图中所有的三角形都是
直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知
，，，，则 的值是
( )
B
A.18 B.10 C.36 D.40
（第6题）
6.[2024· 北京朝阳区期中] 如图，在
中， ， ，
，，则 的长为
( )
B
A.1.5 B.2 C.3 D.4
[解析] 点拨： ， ，
， .
， ，
解得（负值已舍去）， .
， ， ，
， .
考点2 勾股定理的逆定理
7.[2024· 重庆铜梁区期中] 下列各组数中是勾股数的是( )
D
A.，， B.1，2，
C.4，5，7 D.5，12，13
8.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是
( )
C
A. B. C. D.
9.下面三个定理中，存在逆定理的有( )
①角平分线上的点到角的两边的距离相等；
②全等三角形的对应角相等；
③内错角相等，两直线平行.
C
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
10.如图，在中，，，，以 为直径的
半圆过点，再分别以， 为直径向外作半圆，则阴影部分的面积
为____.
30
11.如图，已知等腰三角形 的底边长
，是 上的一点，且
， .
（1）求证： ；
证明：,,， ，
.
是直角三角形，且 .
（2）求 的面积.
解：设，则 .
, .
在中， ， ，
即，解得 .
.
的面积为 .
考点3 勾股定理及其逆定理的实际应用
（第12题）
12. “今有方池一丈，葭生其中央，出水
一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国
数学史上的“葭生池中”问题.如图，即 ，
，，则 ( )
C
A.8 B.10
C.12 D.13
13. 《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃
一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门
和，门边沿，两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛 长为_____寸.
101
（第13题）

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