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人教版数学8年级下册培优精做课件（精做课件）第二十一章小结与复习第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.新人教版八年级数学下册第二十一章小结与复习班级：________姓名：________得分：________时间：60分钟一、本章核心知识点梳理本章主要学习四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定，以及三角形中位线定理，核心考点围绕各类图形的关联与应用展开，具体梳理如下：（一）四边形的基本性质1.四边形的内角和：任意四边形的内角和为360°，外角和为360°（与边数无关）。2.四边形的对角线：连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线，n边形从一个顶点出发可画(n-3)条对角线，总对角线数为n(n-3)÷2。3.四边形的稳定性：四边形不具有稳定性，添加1条对角线可使其变为两个三角形，获得稳定性。（二）平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（用符号“ ”表示）。2.性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。3.判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（三）三角形中位线定理1.定义：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线。2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。3.应用：可用于证明线段平行、求线段长度，或构造平行四边形。（四）特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）特殊性质：四个角都是直角；对角线相等；（3）判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形。2.菱形：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）特殊性质：四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；（3）判定：有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形。3.正方形：（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（特殊的矩形、特殊的菱形）；（2）特殊性质：四条边相等，四个角都是直角；对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角；（3）判定：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形；对角线相等且互相垂直的平行四边形。（五）核心关联正方形 矩形 平行四边形；正方形 菱形 平行四边形；平行四边形、矩形、菱形、正方形均为特殊的四边形。二、易错点辨析（高频易错）1.混淆平行四边形与特殊平行四边形的判定条件：如“对角线相等的四边形是矩形”“对角线互相垂直的四边形是菱形”均错误（需强调“平行四边形”前提）。2.三角形中位线与中线混淆：中位线连接两边中点，中线连接顶点与对边中点，中位线平行于第三边，中线不平行于第三边。3.正方形的判定易错：需同时满足“邻边相等”和“有一个直角”，或结合矩形、菱形的判定推导，不可遗漏条件。4.忽略四边形内角和与外角和的特点：任意四边形内角和、外角和均为360°，与边数无关。三、综合练习题（共100分）（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列四边形中，一定是平行四边形的是（）A.有一组对边相等的四边形B.有一组邻边相等的四边形C.两组对边分别平行的四边形D.有一个角是直角的四边形2.下列说法正确的是（）A.菱形的对角线相等B.矩形的对角线互相垂直C.正方形的对角线平分一组对角D.平行四边形的对角线互相垂直3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5cm，则BC的长度为（）A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm4.能判定四边形ABCD是正方形的是（）A.四边形ABCD是矩形，且邻边相等B.四边形ABCD是菱形，且对边平行C.四边形ABCD是平行四边形，且对角线相等D.四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角5.已知一个多边形的内角和是720°，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形（二）填空题（每题4分，共20分）1.平行四边形ABCD中，∠A=60°，则∠C=________°，∠B=________°。2.菱形的边长为6cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为________cm。3.矩形的对角线长为10cm，一条边长为6cm，则矩形的面积为________cm 。4.三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，连接各边中点所得三角形的周长为________cm。5.正方形的对角线长为4√2 cm，则正方形的边长为________cm，面积为________cm 。（三）解答题（共60分）1.（12分）如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。2.（12分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证：四边形ADEF是平行四边形，且EF= AB。3.（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2cm，∠AOB=60°，求矩形的边长和面积。4.（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=12cm，BD=16cm，求菱形的边长和面积。5.（12分）已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形。四、参考答案与解析（一）选择题：1.C 2.C 3.B 4.A 5.C（二）填空题：1. 60，120 2. 4√5 3. 48 4. 12 5. 4，16（三）解答题：1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE= AB，CF= CD，∴AE=CF，且AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。2.证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE= AC。∵F是AC的中点，∴AF= AC，∴DE=AF，且DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形。又∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF= AB。3.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB=2cm。又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=2cm。在Rt△ABC中，AC=2OA=4cm，AB=2cm，由勾股定理得BC=√(AC -AB )=√(16-4)=2√3 cm。矩形面积=AB×BC=2×2√3=4√3 cm 。答：矩形的长为2√3 cm，宽为2cm，面积为4√3 cm 。4.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA= AC=6cm，OB= BD=8cm。在Rt△AOB中，AB=√(OA +OB )=√(36+64)=10cm。菱形面积= ×AC×BD= ×12×16=96cm 。答：菱形的边长为10cm，面积为96cm 。5.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）。考点一 平行四边形的性质与判定
考点讲练
分析：求 AD 的长
运用勾股定理
例1 如图，在 ABCD 中，∠ODA = 90°，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，
则 AD 的长为(　　)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
A
Rt△AOD，AD = 4
∠ODA = 90°，AO = 5，DO = 3
例2 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD 交 BC 于点 G，点 E、F 分别为 AG、CD 的中点，连接 DE、FG.
(1) 分析：
AG∥CD +
或 DE∥GF
DF = EG
四边形 DEGF 是平行四边形
DF = EG
点 E、F 分别为 AG、CD 的中点
AG∥CD，AD∥BC
(1) 求证：四边形 DEGF 是平行四边形；
四边形 AGFD 是平行四边形
解：(1)∵ AG∥DC，AD∥BC，
∴ 四边形 AGCD 是平行四边形，
∴ AG＝DC.
∵ E、F 分别为 AG、DC 的中点，
∴ GE＝ AG，DF＝ DC，即 GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形 DEGF 是平行四边形.
(2) 如果点 G 是 BC 的中点，且 BC＝12，DC＝10，求四边形 AGCD 的面积．
(2) 分析：
S四边形 AGCD 的面积 = CG×AB
(2)∵ 点 G 是 BC 的中点，BC＝12，
∴ BG＝CG＝ BC＝6.
∵ 四边形 AGCD 是平行四边形，
DC＝10，AG＝DC＝10，
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB＝8，
∴四边形 AGCD 的面积为 6×8＝48.
练一练
1. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是 ( 　　)
A．45 cm B．59 cm
C．62 cm D．90 cm
B
一、核心知识巩固
考点1 平行四边形的性质与判定
（第1题）
1.[2024·邯郸期末] 如图，在中， 是边
延长线上一点，若 ，则
的度数为( )
A
A. B.
C. D.
2.如图，在中，与相交于，若， ，
,则 的长为( )
A
A. B.
C. D.
3.[2024·辽宁] 如图，的对角线，相交于点， ，
，若，，则四边形 的周长为( )
C
A.4 B.6
C.8 D.16
4. 如图，在中，点，
分别在边，上， .
（1）求证： ；
证明： 四边形 是平行四边形，
，， .
，，即 ，
在与中，
.
（2）连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行
四边形.（不需要说明理由）
解：添加 .（答案不唯一）
考点2 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
（第5题）
5.如图，在中，是 的中点，
，，则 的长是( )
A
A.3 B.6
C. D.
6.[2024·济南市中区期末] 如图，的对角线， 相交于点
，的平分线与边相交于点，是的中点，若 ，
，则 的长为( )
D
A.3 B.2
C.1 D.1.5
[解析] 点拨：四边形 是平行四边形，
，， ，
.
平分， ，
， ，
.
是的中点，是 的中点，
是的中位线， .
（第7题）
7.如图，在中，,点 是斜边
的中点，以为边作正方形 .若
，则 ( )
B
A. B. C.12 D.16
考点3 矩形的性质与判定
（第8题）
8.如图，在矩形中，点的坐标是 ，则
， 两点之间的距离是( )
B
A. B.
C. D.6
9.如图，在矩形中，， ，对
角线，相交于点，过点作 ，交
于点，则 的长是( )
A
A.3 B.2 C.2.4 D.2.5
[解析] 点拨：连接 .
四边形是矩形，, ，
，，， .
，垂直平分, .
设，则 .
在中，由勾股定理得 ，
，解得， .
[解析] 点拨：设正方形的边长为，与轴相交于 ，则易得四
边形 是矩形，
，， .
由折叠的性质得， ，
点的坐标为，点的坐标为 ，
，，， .
在中， ，
，解得 ，
， ，
在中， ，
，解得 ，
， 点的坐标为 .

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