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高二年级 3月数学学科素养训练
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册占 ，选择性必修第二册第一章占
.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知数列 ， ， ， ， ，…，则该数列 通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 ，若 ，则 （ ）
A B. C. D.
3. 若数列 满足 ，则 （ ）
A. 8 B. C. D.
4. 已知等差数列 前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 15 B. C. D. 7
5. 设等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
6. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A 78 B. 75 C. 69 D. 87
7. 已知数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 ，若 ，则 的
最小值为（ ）
A. 8 B. 15 C. 255 D. 511
8. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 焦
点为 ，准线为 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 （点 在抛物线 内）射入，经
抛物线 上的点 反射后，再经抛物线 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 .若直线 与抛物
线 的准线交于点 ，且 ， 平分 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（ ）
A. 的公差为
B.
C.
D. 使 成立的 的最大值为
10. 已知 ，且 展开式中所有的二项式系数
和为 ，则（ ）
A.
B.
C.
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D.
11. 给定数列 （ 且 ），若对任意的 ，都有 ，则称数列 为指数型
数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 若数列 指数型数列，且 ，则
B. “数列 是指数型数列”是“数列 是等比数列”的充要条件
C. 若数列 满足 ，且 是指数型数列，则
D. 若数列 是指数型数列，且 ，则数列 中存在不同的三项构成等差数列
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 若等差数列 的前 项和 ，则 ______.
13. 已知数列 满足 ，则 ______，前 项和 ______.
14. 在数字通信中，信号是由数字 0和 1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号 0或 1有可能被错
误地接收为 1或 0.当发送信号 0时，接收为 0和 1的概率分别为 0.7和 0.3；当发送信号 1时，接收为 1和
0的概率分别为 0.8和 0.2.假设发送信号 0和 1是等可能的.某次信号传递中，在接收的信号为 00的条件下，
则传递过程中没有出错的概率为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知公差为 的等差数列 满足 ， 的等比中项为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
16. 如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点， .
（1）证明： 平面 .
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（2）若二面角 的正弦值为 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.
17. 已知数列 满足 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18. 现有国际乒联认证的“3星”比赛用球和“2星”训练用球.已知一个球桶中共装有 6个乒乓球，其中 4
个“3星”球，2个“2星”球.
（1）现从桶中任取一个球，记录球的星级后放入桶内，连续取球三次，记取到“2星”球的次数为 ，求
的分布列与方差.
（2）若从桶中依次取球，每次取一个，取到“3星”球，则放回桶中，取到“2星”球，则不放回桶中，直至将
“2星”球全部取出结束取球.
①求第三次取球取到“3星”球的概率；
②记第 次取球后结束取球的概率为 ，求 .
19. 若正项数列 满足 ，则称数列 是 的平方差数列.已知数列 是 的
平方差数列，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）若 求数列 的前 项和 .
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高二年级 3月数学学科素养训练
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册占 ，选择性必修第二册第一章占
.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
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【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
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X 0 1 2 3
P
；
（2）① ；②
【19题答案】
【答案】（1） ,
（2）
（3）
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