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第二十四章 数据的分析
24.4 数据的分组
人教 2024
回顾旧知
刻画一组数据的离散程度，常见有两个统计量： 和与
设n个数据x1，x2，...，xn的平均数为 ，把 (i=1，2，...，n)叫作 xi 关于平均数 的离差.
一组数据：90，92，93，97，88. 这组数据中，离差最大的数的离差是 .
一组数据：3，5，7，9，11. 这组数据的离差平方和d2= .
设n个数据x1，x2，...，xn的平均数为 ，把 叫作这组数据
关于平均数的离差平方和，记作d2.
设n个数据x1，x2，...，xn的离差平方和为d2，方差为s2，则有 .
回顾旧知
刻画一组数据的离散程度，常见有两个统计量： 和与
设n个数据x1，x2，...，xn的平均数为 ，把 (i=1，2，...，n)叫作 xi 关于平均数 的离差.
一组数据：90，92，93，97，88. 这组数据中，离差最大的数的离差是 .
一组数据：3，5，7，9，11. 这组数据的离差平方和d2= .
设n个数据x1，x2，...，xn的平均数为 ，把 叫作这组数据
关于平均数的离差平方和，记作d2.
设n个数据x1，x2，...，xn的离差平方和为d2，方差为s2，则有 .
1. 方差和离差平方和都可以刻画一组数据的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小.
2. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，方差则不受这个限制.
问题提出
在社会生活中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，有助于我们解决问题. 看下面的问题：
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩(百分制)按从小到大的顺序排列如下：
58，64，68，75，76，83，85，89，90，92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
问题提出
在社会生活中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，有助于我们解决问题. 看下面的问题：
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩(百分制)按从小到大的顺序排列如下：
58，64，68，75，76，83，85，89，90，92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
应当选择笔试成绩好的应聘者进入面试. 标准可以是前三名或者85分以上等.
你这个标准没有考虑到数据自身的特点，可能导致两个很接近的成绩被分到不同的组. 我认为笔试成绩的分组可以根据组内差异最小的原则进行
将笔试成绩按照从小到大的顺序排列，，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起. 要是分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法即可.
问题分析
设n个数据x1，x2，...，xn的平均数为 ，这组数据的离差平方和为d2=
现将这组数据分成两组，前m(m和 ，离差平方和分别为
问题分析
设n个数据x1，x2，...，xn的平均数为 ，这组数据的离差平方和为d2=
现将这组数据分成两组，前m(m和 ，离差平方和分别为
根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，既可以按 最小来分组，也可以按 最大来分组.
这样，可以使很接近的两个数据分在同一组.
问题解决
前面问题中，10个笔试成绩按顺序形成9个间隔，共有9种分法：
58 | 64 | 68 | 75 | 76 | 83 | 85 | 89 | 90 | 92
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1026.2 0 1026.2
问题解决
前面问题中，10个笔试成绩按顺序形成9个间隔，共有9种分法：
58 | 64 | 68 | 75 | 76 | 83 | 85 | 89 | 90 | 92
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1026.2 0 1026.2
观察发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.
因此，按组内离差平方和最小的分法为
｛58，64，68，75，76｝
和｛83，85，89，90，92｝
应选笔试成绩在83分及以上的应聘者进入面试.
现场操练
例1. 小明将一组数据分成了两组｛78，80｝和｛84，85，85，86｝，则第一组离差平方和与第二组离差平方和分别为 .
例2. 现有八年级5名同学的引体向上次数如下：6，10，8，4，9. 若将3名成绩较好的同学分为一组，剩下的两名同学为一组，则这样分组后的组内离差平方和及组间离差平方和分别为 .
例3. 将数据2，3，5，7按组内离差平方和最小的原则，分成两组为｛ ｝和｛ ｝.
现场操练
例4. 某环保组织开发了一个AI模型，用于识别不同树种的年龄(单位:年). 现已收集6种树木的年龄数据，并由小到大排序：5，7，12，15，19，35. 请分别按照组内离差平方和最小的原则和组间离差平方和最大的原则将这组数据分别分成幼树组和成树组两组.
共有5种分组方式：5 | 7 | 12 | 15 | 19 | 35
分组 第一组离 差平方和 第二组离 差平方和 组内离差 平方和 组间离差
平方和
第1个间隔 0 455 455 132.5
第2个间隔 2 315 317 270.5
第3个间隔 26 224 250 337.5
第4个间隔 63 128 191 396.5
第5个间隔 131 0 131 456.5
现场操练
例4. 某环保组织开发了一个AI模型，用于识别不同树种的年龄(单位:年). 现已收集6种树木的年龄数据，并由小到大排序：5，7，12，15，19，35. 请分别按照组内离差平方和最小的原则和组间离差平方和最大的原则将这组数据分别分成幼树组和成树组两组.
共有5种分组方式：5 | 7 | 12 | 15 | 19 | 35
分组 第一组离 差平方和 第二组离 差平方和 组内离差 平方和 组间离差
平方和
第1个间隔 0 455 455 132.5
第2个间隔 2 315 317 270.5
第3个间隔 26 224 250 337.5
第4个间隔 63 128 191 396.5
第5个间隔 131 0 131 456.5
注：
组内离差平方和+组间离差平方和
=全组数据的离差平方和
本题数据的离差平方和=587.5
两种原则进行分组是一致的.
按第5个间隔分组最合适，
幼树组｛5，7，12，15，19｝
成树组｛35｝
现场操练
例5. 某校开展了以"书香校园"为主题的读书活动. 八(9)班班长统计了该班其中一个小组的5名学生一学期课外图书的阅读量(单位: 本)，分别为5，6，10，14，20. 现要依据阅读量按照组内离差平方和最小的原则把这5名学生分成两组.
合理的分组结果是 .
排序并间隔分组：5 | 6 | 10 | 14 | 20
分组 组内离差
平方和
第1个间隔 107
第2个间隔 51.17
第3个间隔 32
第4个间隔 50.75
现场操练
例5. 某校开展了以"书香校园"为主题的读书活动. 八(9)班班长统计了该班其中一个小组的5名学生一学期课外图书的阅读量(单位: 本)，分别为5，6，10，14，20. 现要依据阅读量按照组内离差平方和最小的原则把这5名学生分成两组.
合理的分组结果是 .
排序并间隔分组：5 | 6 | 10 | 14 | 20
分组 组内离差
平方和
第1个间隔 107
第2个间隔 51.17
第3个间隔 32
第4个间隔 50.75
组内离差平方和最小是32, 按第3个间隔分组最合理.
合理的分组结果是：
｛5，6，10｝和｛14，20｝
发展素养
例1. 八年级9班课外实践小组记录了铜陵市顺安镇2月份连续5天(星期一到星期五)的日最低气温(单位：℃)：-2，-4，0，1，-1(按星期一到星期五排序).
若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，
则这两组是 和_______________________________
组间离差平方和最大原则与组内离差平方和最小原则一致，都是为了使得分组后：组内数据相互差异较小，组间数据相互差异较大.
观察本题数据可知，应该分成的两组分别是｛星期一，星期二｝和｛星期三，星期四，星期五｝
发展素养
例1. 八年级9班课外实践小组记录了铜陵市顺安镇2月份连续5天(星期一到星期五)的日最低气温(单位：℃)：-2，-4，0，1，-1(按星期一到星期五排序).
若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，
则这两组是 和_______________________________
组间离差平方和最大原则与组内离差平方和最小原则一致，都是为了使得分组后：组内数据相互差异较小，组间数据相互差异较大.
观察本题数据可知，应该分成的两组分别是｛星期一，星期二｝和｛星期三，星期四，星期五｝
例1(再练). 2025年4月24日，神州二十号载人飞船发射成功，展示了我国在航天领域的强大实力. 铜陵市顺安中学为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识答题竞赛活动，现从该校八年级随机抽取6名学生的成绩：92，86，71，88，69，95，按照组内离差平方和最小的原则，把这6名学生的成绩分成两组.
当分成｛ ｝和｛ ｝时，得到的组内离差平方和最小.
发展素养
例2. 测得5个苹果的直径(单位：mm)分别为65，69，81，80，70. 按照"组内离差平方和最小"的原则，把这5个苹果按直径大小分成三组.
先观察猜想一下结果！
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组1个，第三组3个 74.0
第一组1个，第二组2个，第三组2个 1.0
第一组1个，第二组3个，第三组1个 74.0
第一组2个，第二组1个，第三组2个 8.5
第一组2个，第二组2个，第三组1个 58.0
第一组3个，第二组1个，第三组1个 14.0
排序：65，69，70，80，81. 计算组内离差平方和(精确到0.1)
发展素养
例2. 测得5个苹果的直径(单位：mm)分别为65，69，81，80，70. 按照"组内离差平方和最小"的原则，把这5个苹果按直径大小分成三组.
先观察猜想一下结果！
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组1个，第三组3个 74.0
第一组1个，第二组2个，第三组2个 1.0
第一组1个，第二组3个，第三组1个 74.0
第一组2个，第二组1个，第三组2个 8.5
第一组2个，第二组2个，第三组1个 58.0
第一组3个，第二组1个，第三组1个 14.0
排序：65，69，70，80，81. 计算组内离差平方和(精确到0.1)
和你的猜想比较一下. 看看你的猜想是否准确！
这5个苹果按直径大小分成三组：
｛65｝，｛69, 70｝和｛80, 81｝.
看一下课本P186的T3吧！
再 见
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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