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2026年钢城区初中学业水平考试
初四数学模拟试题（一）
注意事项：
1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确.
2.本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟.
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔.
4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回.
第I卷（选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.）
1.下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C.0.2626 D.
2.中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3.科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.盒中有四张卡片，分别印有济南泉城广场、趵突泉、大明湖、千佛山图案，它们的形状和大小完全相同.两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接.若，，则是（ ）
A. B. C. D.
10.定义：二次函数与轴有两个交点，将其位于轴下方的图象沿轴向上翻折，与原x轴上方的图象合称为该函数的“型函数”.已知抛物线（m为常数），记其对应的“型函数”为，有如下结论：
①当取任意实数值，的函数图象一定关于直线对称；
②当时，的函数图象与直线有4个公共点；
③当时，的最小值为4；
④若的函数图象与直线（为常数）有2个公共点，则的取值范围是；
⑤当时，的值随的增大而减小.
则正确结论的个数为（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分）
11.因式分解：_____.
12.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是_____个.
13.如图，两条平行线、分别经过正五边形的顶点和.如果∠1=20°，那么∠2=_____.
14.人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚.如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍.设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要_____s.
15.如图，四边形为矩形，已知，，为上一点，，为上动点，将矩形沿向下折叠，当点恰好落在边上时，的长度为_____.
三、解答题（本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分7分）
计算：
17.（本小题满分7分）
解不等式组并写出它的所有整数解.
18.（本小题满分7分）
如图，在菱形中，、是对角线上两点，，连接、.
求证：.
19.（本小题满分8分）
某学校开展综合实践活动，如图，，为两栋楼房，山坡长为15m，，楼房位于山坡顶部平地上，底部到点的距离为4m.楼房底层窗台处至地面处的高度为1m，在点处观察点的仰角为39°，底部距处距离为32.5m.图中所有点均在同一平面内，.
（1）求山坡的垂直高度EH；
（2）求楼房的高度.
（参考数据：，，，，结果精确到0.1m）
20.（本小题满分8分）
如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，.
（1）求证；是的切线；
（2）若，点是的中点，求的长.
21.（本小题满分9分）
“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日.某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级 视力（） 频数 百分比
A 4 10%
B 12 30%
C
D
E 10 25%
合计 40 100%
其中等级，的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0.根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若将调查结果制作成扇形统计图，则等级所对应的圆心角为______；
（3）等级中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______；
（4）若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人
22.（本小题满分10分）
济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜.某水果店购进一批数量相等的、两种蜜桃，其中购买蜜桃用了480元，购买蜜桃用了720元.已知每千克蜜桃的进价比蜜桃便宜4元.
（1）求每千克蜜桃、蜜桃的进价各是多少元
（2）若该水果店再次购进、两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元.蜜桃每千克售价12元，蜜桃每千克售价18元.请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润.
23.（本小题满分10分）
已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标.
24.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，直线与轴正半轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点在第四象限对称轴右侧抛物线上，点在坐标平面内，四边形是面积为3的平行四边形，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与轴交于点.若点为抛物线对称轴上一点，点为轴上任意一点，且，当点在线段（含端点）上运动时，求的取值范围.
25.（本小题满分12分）
如图，四边形为矩形，，，分别为、边上的中点.以，为边构造矩形.
（1）线段与的数量关系是_______，直线与直线的位置关系是_______.
（2）将图1所在的矩形绕点顺时针旋转，连接，，直线、交于点.则（1）中的结论是否成立 若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
（3）将图1的矩形绕点旋转，连接，，直线、交于点.若，则在矩形旋转的过程中，求的最小值.
2026年钢城区初中学业水平考试
初四数学模拟试题（一）参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 B D A B C C D D A B
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 12.15 13.92° 14.45 15.
三、解答题（共10小题，共90分）
16.（本题满分7分）
解：原式
17.（本题满分7分）
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组解集为，
∴所有整数解为-2，-1，0.
18.（本题满分7分）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，∴.
∵，∴，∴.
在与中，
∵
∴
∴.
19（本题满分8分）
（1）解：在中，，，
∴
∴山坡EF的垂直高度EH约为13.0m.
（2）解：延长BA交直线CF于点Q则，过点P作于点G，
则四边形EHQA和四边形CPGQ都是矩形
∴，，，.
在中，，
∴.
∴，
∴.
在中，，
∴
∴
答：楼房AB的高度约为23.6cm.
20（本题满分8分）
（1）证明：连接OC，
∵，∴，
∵，∴，
∵于点D，
∴，∴，∴
∴，
即
又∵OC是的半径，∴CF是的切线.
（2）解：∵，∴，
∵点D是OA的中点，
∴，∴，
∵，∵，
∵AB是的直径，∴，
又∵，∴，
∴，∴.
即BC的长是6.
21.（本题满分9分）
（1）
（2）72°
（3）4.5，4.55
（4）（人）
∴估计该校九年级学生视力为“良好”的学生有630人.
22.（本题满分10分）
解：（1）设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，
由题意得
解得
经检验是所列方程根，且符合题意.
∴
答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元.
（2）设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，
由题意得，
解得.
设总利润为w元，
由题意得
∵，∴w随m增大而减小.
∴当时，，此时.
∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元.
23.（本题满分10分）
解：（1）将代入，得，
∴
将代入，得
∴
（2）设点，则
∴，
∵，∴，
∴，（舍）
∴.
（3）∵，，
∴：
∴
1.点G在x轴正半轴，
∵，
∴，∴.
设
则
∴，（舍）
∴.
2.点在x轴负半轴，
此时，，∴
过点A作轴于点，则是中点，
∴
综上所述，点G坐标为或.
24.（12分）
解：（1）由题意可得
解得
∴.
（2）连接CE，过点E作轴交CD于点F
∵四边形是平行四边形，且面积为3
∴
∴.
由，可求：
∴.
设，则
∴，
∴（舍），
∴
∴.
（3）由题可知，，，
设其中，
∵，
∴
∴
∴当时，，
当时，
∴t的取值范围是.
25.（12分）解：（1），
（2）成立
由题，E，F分别为BC，CD边中点
，
∴
∵矩形GECF绕C顺时针旋转
∴
∴
∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴
记BM与CD交点为O，在和中
∵，，∴，
∴.
（3）由（2），在中，
∴最小时，DM最小
由题，∴点E在以点C为圆心，4为半径的圆上.
如图，当BE与相切时，最大，最小，
即时，DM最小.
此时，点M与点G重合，
∵，，
∴.
∴.

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