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二〇二五年初中学业水平模拟考试
九年级数学参考答案
评卷说明：
1. 选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分。
2. 解答题中的每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数。对考生的其他解法，请参照评分意见相应评分。
3. 如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分。
一、选择题(每题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B A C B C D
二、填空题(11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分.)
11．3.4×10﹣10； 12．（x﹣2）（x﹣1）； 13．； 14．5π；
15．x＝﹣2； 16．2； 17．； 18．
三．解答题
19．（本题满分8分）
（1）解：原式＝4+1﹣（1）+2……………………………………………………………2分
＝4+11
＝6．…………………………………………………………………………………………………4分
（2）解：原式
，………………………………………………………………………………………………6分
∵﹣2≤x≤2，且x≠0，±2，
∴整数x＝1或﹣1，…………………………………………………………………………………7分
∴当x＝1时，原式
当x＝-1时，原式（答对一个即可）．…………………………………………8分
20．（本题满分8分）
解：（1）50；83.5；144°………………………………………………………………………3分
（2）B组的人数为50×30%＝15（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
………………………………………………………4分
（3）1200720（人）．
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于8（0分）的人数约720人．……………5分
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
…………………………………………………………………………………………………7分
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．…………………………………………………8分
21．（本题满分8分）
（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，………………………………………………………………………………………1分
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD，………………………………………………………………2分
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，………………………………………………………………………………3分
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；………………………………………………………………………………4分
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，………………………………………………………………………………6分
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．………………………………………………………………………………8分
22．（本题满分8分）
解：如图3，过点O作OG⊥AC于点G，交A1C1于点H，
由题意得，OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，
∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°，
在Rt△OA1H中，A1H＝OA1 cos37°≈3×0.8＝2.4（米），………………………………3分
∵AC⊥EF，OD⊥EF，
∴AC∥OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠CAO＝180°﹣∠AOD＝60°；
∴AG＝OA cos∠CAO＝31.5（米），…………………………………………………6分
∴A1H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米），
∴点A上升的高度约为0.9米． ……………………………………………………………8分
23．（本题满分8分）
解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元，
根据题意得：，……………………………………………………………1分
解得x＝125， …………………………………………………………………………………2分
经检验，x＝125是方程的解，也符合题意， ………………………………………………3分
∴x﹣35＝125﹣35＝90，
∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 ；………………………………4分
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型（120﹣m）个，
∵航空模型数量不少于航海模型数量的，
∴m（120﹣m），
解得m≥40，……………………………………………………………………………………5分
根据题意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，………………………………6分
∵10＞0，
∴当m＝40时，W取最小值，最小值为10×40+10800＝11200，…………………………7分
此时120﹣m＝120﹣40＝80，
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少．……………………………8分
24．（本题满分10分）
（1）证明：如图1，
∵D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，
∴DE，DF是△ABC的中位线
又∵，
∴，，…………………………………………………………1分
∴；…………………………………………………………………………………2分
（2）解：，……………………………………………………………………………3分
理由如下：
如图2，
∵，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线
∴，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠C，
∵，
∴∠DFC＝∠C，
∴∠DFC＝∠DEF，
∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，
∴∠DFN＝∠DEM，…………………………………………………………………………………4分
∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，
∴∠EDF＝∠PDQ，
∵∠EDF-∠NDE＝∠PDQ-∠NDE，
∴∠FDN＝∠EDM，
∴△DNF∽△DME，………………………………………………………………………………5分
∴，
∴；……………………………………………………………………………………6分
（3）解：如图，连接AF，交DE与点K，
∵F是BC的中点，AB=AC
∴AF⊥BC
又∵DE是△ABC的中位线
∴DEBC
∴AK⊥DE
又∵AD=AE
∴EK=DK=1
Rt△AKE中，
∴，
∵，
∴，………………………………………………………………………7分
Rt△GED中，，
Rt△AGD中，，
∴，
∵EF∥AD，
∴∠EMG＝∠ADG，
∴，
∴，
∴，………………………………………………………………8分
∵△DNF∽△DME，
∴，
∴．………………………………………………………………10分
25．（本题满分12分）
解：（1）由题意得：，………………………………………………………………2分
解得，………………………………………………………………………………3分
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；…………………………………………………………4分
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，…………………………………………………………………5分
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，…………………………………………………6分
∵﹣1＜0，
当x＝2时，PQ的最大值为4，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；………………………………………………………………………7分
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；……………………………………………………………………8分
（3）∵D是OC的中点，则点D（0，2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5，4），………………………………………………………………………………9分
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．……………………………12分（一个坐标1分）学校：
班级：
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考号：
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A.2025
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C.:3423-23
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A.1006
A.13cm
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A.60
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B.16cm
B.70°
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