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高三数学素养训练
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. 5 D. 3
2. 集合 的子集的个数为（ ）
A. 64 B. 16 C. 6 D. 4
3. 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 ，若 ，则 （ ）
A 88 B. 90 C. 92 D. 94
5. 已知函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是抛物线 上一点， 为 准线，过点 作 的垂线，垂足为 ，记 为 的中点，
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为坐标原点， 为 的焦点.若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
8. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为 10，底面半径为 4，且两个圆锥的
顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 如图，从双曲线 的左焦点 发出的光线，到达 C上的点 P后的反射光线，
其反向延长线会经过 C的右焦点 ，且 C在点 P的切线 l恰好为 的角平分线所在的直线.已知
，C的离心率为 2，则下列结论正确的是（ ）
A. C的渐近线方程为
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B. 若 ，则 的面积为
C. 若 l与 x轴交于点 ，则
D. 若 l的斜率为 2，则 为直角三角形
11. 记函数 的导函数为 ，已知 ，且 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A. B.
C. 若 为偶函数，则 D. 可能为二次函数
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 函数 的极大值点为________.
13. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的 5个部分.现栽种 3种不同品种的花，花圃的
每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有 1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相
同品种的花，且 3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________.
14. 若对于任意的 ，关于 x的方程 在 上始终有解，则 m的取
值范围为__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
满意度
义肢类型 合计
满意 不满意
传统义肢 60 40 100
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智能义肢 80 20 100
合计 140 60 200
（1）任选 3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为 0.8，求其中至少有 2人
能完成精细抓握的概率；
（2）依据 的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附： ，
0.05 0.01 0 005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD是菱形， ， 平面 ，E是 PC的
中点.
（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求二面角 余弦值.
17. 已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 a的取值范围.
18. 已知椭圆 的焦距为 2，且过点 ．
（1）求椭圆 C的方程.
（2）设 B为椭圆 C的右顶点，过点 的直线 l与椭圆 C交于 M，N两点（异于点 B）．
（ⅰ）记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值.
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（ⅱ）求 的面积的取值范围.
19. 若正项数列 满足对于给定的正数 ， ， ， （ 为 的前 n项
和），则称 为“ 稳定数列”.
（1）若 为“ 稳定数列”，且 ，求 的取值范围.
（2）若 ，证明：数列 “ 稳定数列”.
（3）若 为“ 稳定数列”，证明 ， ．
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高三数学素养训练
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
【9题答案】
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【答案】AD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
【12题答案】
【答案】 ##
【13题答案】
【答案】42
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1） ；
（2）能认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1） ；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） .
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【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
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