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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章 三角形及四边形
4.4 锐角三角函数
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．
1．锐角三角函数概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则 sinA =，cosA =，tanA=．
2．特殊角的三角函数值
sin30° =，sin45° =，sin60° =，
cos30° =，cos45° =，cos60° =，
tan30° =，tan45° =，tan60° =．
3．锐角三角函数的变化规律
在0°～90°之间，正弦、正切值都是随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．
4．解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2，
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=，
（3）边角之间的关系：sinA =，cosA =，tanA=．
5．应用
（1）在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．
（2）斜面坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．
■考点一 特珠角的三角函数值
◇典例1：（2026·河南许昌·一模）若规定，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：．
◆变式训练
1．（2025·广西防城港·模拟）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点是正六边形的六个顶点，则___________．
【答案】
【分析】连接，，，，根据正六边形的性质可得，，，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质可得，从而利用特殊角的三角函数值进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，，，，
点，，，，，是正六边形的六个顶点，
，，，
，
，
，
，
2．(2026·广东深圳高级中学集团·模拟)计算：．
【答案】
【详解】解：原式
■考点二 直角三角形的边角关系
◇典例2：（2026·陕西·一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，的平分线交于点．若，则的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】由解直角三角形，根据特殊角三角函数依次计算、、，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
◆变式训练
1．（2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______．
【答案】或
【分析】先在中，由已知角度和边长求出及，再依据翻折性质得到等关键等量关系；随后分两种情况，利用平行线性质、等腰三角形判定及解直角三角形的知识，分别推导出两种情况下的长度，最终综合得的长为或．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵为的中点，
∴
由翻折性质得：
分两种情况讨论：
当时
∵，内错角相等得，
结合翻折性质，
∴，由等腰三角形等角对等边得，
当时，延长交于点，
∵，
∴，
由翻折得，
∴在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
综上，的长为或．
2．(2025·广东省广州市·三模)如图，在中，．
（1）尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键．
（1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求；
（2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
（2）解：交于点，过点作于点，如图，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，，
△△，
，
设，则，
△△，
，即，
解得，
．
■考点三 锐角三角函数的实际应用
◇典例3：（2026·云南昆明·模拟预测）如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，则树高度为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，
∴，
即树高度为米．
◆变式训练
1．(2026·上海闵行区·一模)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出．
【详解】解：作，
∵坡度为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2026·河北石家庄·模拟预测）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为．（参考数据：取，取）
(1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；
(2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，在中，，列式计算即可；
（2）延长交于点，则，，先解直角三角形得到，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
．
故眼睛与屏幕的距离为；
（2）解：如图，延长交于点，
则，，
∵，
∴．
在中，，，
，
．
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果．
【详解】解：∵为BC的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，在中，，
∴；
故选B．
2．(2025·江苏省镇江市·中考)如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选：D．
3．(2025·山东省济南市·中考)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出．
【详解】解：由网格可知：，，
，
∴，
∵，
∴
∴，
故选C
4．(2025·江苏省南通市·中考)在中，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键．
【详解】解：在中，， ，，
∴ ．
∴ ．
故选：．
5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由旋转的性质和为等腰三角形可得，为等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出．容易证明，则，代入数值计算即可．
【详解】解： 由旋转的性质可得，，，，，
∵为等腰三角形，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
在直角中，，
∴，
在直角中，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
6．(2026·黑龙江哈尔滨南岗区第四十七中学·调研)已知等腰中，，，高，则的值为____．
【答案】或2
【分析】分两种情况：当高在内部时，当高在外部时，分别利用勾股定理，并结合正切的定义计算即可得出结果．
【详解】解：如图，当高在内部时，
，
∵，高，
∴，
∴，
∴；
如图，当高在外部时，
，
∵，高，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或2．
7．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，点在边上，，连接，且平分，则的长为______．
【答案】
【分析】过作于点，过作交于点，易得 ，进而证明，可设，利用勾股定理求，再利用，即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，过作交于点，
∵平分，
∴
又∵
∴
∴
∴ ，
平分
，
，
，
设，
在中，，
，
解得，，
．
，
，
，
，
即，
解得，．
8．（2025·江苏南京·中考）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________．
【答案】
【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长．
【详解】解：如图，延长，交于点，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键．
9．（2025·江苏南京·中考）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
【答案】
【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案．
【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点．
由题意得，，，，
，之间的距离为，在的中点处，
，
∵中，，
，，
，为中点，
∴，
为的中点，
即，，
设 ，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴,
,
，
，
解得，
答：甲航行的距离约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．
B 强化提升练
10．(2026·福建省泉州市·适考)如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，当的值最小时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质易证得，结合，从而得出结论；
（2）作于点，交于点，易证得，进而证得，再证得，进而得到，最后证得，进而得到，从而得出结论；
（3）根据题意易得到、B、C、D四点共圆，则当最长时，最小，此时为四边形外接圆的直径，根据列方程为：，设，，则，解方程即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，作于点，交于点,
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3）证明：由（1）得：，
，，
、B、C、D四点共圆，
，，
，
当最长时，最小，
此时为四边形外接圆的直径，
，
，
即，
，，
，
又，
设，，
则，
，
．
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第四章 三角形及四边形
4.4 锐角三角函数
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．
1．锐角三角函数概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则 sinA =，cosA =，tanA=．
2．特殊角的三角函数值
sin30° =，sin45° =，sin60° =，
cos30° =，cos45° =，cos60° =，
tan30° =，tan45° =，tan60° =．
3．锐角三角函数的变化规律
在0°～90°之间，正弦、正切值都是随着角的增大而________；余弦值随着角的增大而________．
4．解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=
（3）边角之间的关系：sinA =，cosA =，tanA=．
5．应用
（1）在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是________，视线在水平线下方的是________．
（2）斜面坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的________．
■考点一 特珠角的三角函数值
◇典例1：（2026·河南许昌·一模）若规定，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·广西防城港·模拟）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点是正六边形的六个顶点，则___________．
2．(2026·广东深圳高级中学集团·模拟)计算：．
■考点二 直角三角形的边角关系
◇典例2：（2026·陕西·一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，的平分线交于点．若，则的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
◆变式训练
1．（2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______．
2．(2025·广东省广州市·三模)如图，在中，．
（1）尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
■考点三 锐角三角函数的实际应用
◇典例3：（2026·云南昆明·模拟预测）如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，则树高度为（ ）米．
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2026·上海闵行区·一模)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）．
2．（2026·河北石家庄·模拟预测）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为．（参考数据：取，取）
(1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；
(2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离．
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·江苏省镇江市·中考)如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．(2025·山东省济南市·中考)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．(2025·江苏省南通市·中考)在中，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）．
A． B． C． D．
6．(2026·黑龙江哈尔滨南岗区第四十七中学·调研)已知等腰中，，，高，则的值为____．
7．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，点在边上，，连接，且平分，则的长为______．
8．（2025·江苏南京·中考）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________．
9．（2025·江苏南京·中考）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
B 强化提升练
10．(2026·福建省泉州市·适考)如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，当的值最小时，求的长．
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2026年中考一轮复习
4.4 锐角三角函数
三角形及四边形
第4章
“—”
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．
1．锐角三角函数概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则 sinA =，cosA =，tanA=．
2．特殊角的三角函数值
sin30° =，sin45° =，sin60° =，
cos30° =，cos45° =，cos60° =，
tan30° =，tan45° =，tan60° =.
3．锐角三角函数的变化规律
在0°～90°之间，正弦、正切值都是随着角的增大而________；余弦值随着角的增大而________.
增大
减小
4．解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
（1）三边之间的关系：，
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=，
（3）边角之间的关系：sinA =，cosA =，tanA=.
a2+b2=c2
5．应用
（1）在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是________，视线在水平线下方的是________．
（2）斜面坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的________．
仰角
俯角
比
A
C
或
A
A 基础达标练
B
D
C
C
A
或2
B 强化提升练
33
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