资源简介

(共32张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.3第1课时直角三角形的性质与判定第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.3第1课时直角三角形的性质与判定练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“直角三角形的性质与判定”核心内容设计，侧重直角三角形的定义、两大核心性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半）及判定方法（有一个角是直角、两锐角互余、勾股定理的逆用入门），贴合本节课重难点，助力掌握直角三角形的基本特征，能规范运用性质求角度、线段长度，运用判定方法判断三角形是否为直角三角形，规避性质混淆、判定条件误用等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于直角三角形的定义，正确的是（）A.有一个角是锐角的三角形是直角三角形B.有两个角互余的三角形是直角三角形C.有一个角是90°的三角形是直角三角形D.斜边大于直角边的三角形是直角三角形2.直角三角形的两个锐角的关系是（）A.相等B.互余C.互补D.和为120°3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B的度数为（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 90°4.下列关于直角三角形性质的说法，错误的是（）A.直角三角形的两锐角互余B.直角三角形的斜边中线等于斜边的一半C.直角三角形的斜边一定大于任意一条直角边D.直角三角形的两个锐角都是钝角5.下列三角形中，不能判定为直角三角形的是（）A.有一个角为90°的三角形B.有两个角分别为30°和60°的三角形C.三个角都为60°的三角形D.两锐角互余的三角形二、填空题（每题4分，共20分）1.有一个角是________°的三角形叫做直角三角形，其中直角所对的边叫做________，另外两条边叫做________。2.直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角________（即和为________°）。3.直角三角形的性质2：直角三角形________边上的中线等于________的一半。在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，若AB=10cm，则CD=________cm。5.直角三角形的判定方法1：有一个角是________°的三角形是直角三角形；判定方法2：两个角________的三角形是直角三角形。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用直角三角形的性质与判定，完成下列题目（写出完整步骤）。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，求∠B的度数；（2）在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，判定△ABC是否为直角三角形，并说明理由；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，若CD=6cm，求斜边AB的长。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）判断：直角三角形的斜边中线等于直角边的一半；（2）解题：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AB=8cm，求斜边AB上的中线长。解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴△ABC是直角三角形，斜边AB上的中线=1/2AB=4cm；（3）判定：在△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，∠C=90°，判定△ABC是直角三角形，理由是“两锐角互余”。四、拓展题（10分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，∠A=25°，求∠CDB的度数（提示：结合直角三角形性质和等腰三角形性质求解）。五、应用题（10分）一个三角形的三个内角之比为1:2:3，判定这个三角形是否为直角三角形，并说明理由；若这个三角形的斜边中线长为5cm，求这个直角三角形的三条边长。参考答案提示：一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.C；二、1.90，斜边，直角边2.互余，90 3.斜，斜边4.5 5.90，互余；三、1.（1）∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵∠A=50°，∴∠B=90°-50°=40°；（2）是直角三角形，理由：∠C=180°-40°-50°=90°，有一个角是90°的三角形是直角三角形；（3）∵CD是斜边AB的中线，∴CD=1/2AB，又∵CD=6cm，∴AB=2×6=12cm；2.（1）不正确，改正：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，错误原因：混淆斜边中线的对应边；（2）正确，理由：有两个角互余的三角形是直角三角形，斜边中线等于斜边的一半；（3）不正确，改正：理由是“有一个角是90°的三角形是直角三角形”，错误原因：误用判定依据（已明确有直角，无需用两锐角互余判定）；四、∵CD是斜边AB的中线，∴CD=AD=BD（斜边中线等于斜边的一半），∴∠A=∠ACD=25°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=50°；五、是直角三角形，理由：设三个内角分别为x°、2x°、3x°，x+2x+3x=180，解得x=30，三个内角为30°、60°、90°，有一个角是90°，故为直角三角形；斜边中线长为5cm，∴斜边=10cm，30°角所对的直角边=5cm，另一条直角边=5√3cm，三条边长分别为5cm、5√3cm、10cm。直角三角形的性质与判定
1
问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，∠A +∠B = 90°，那么 △ABC 是直角三角形吗？
在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是△ABC 是直角三角形.
2
a
c
b
勾
弦
股
勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2.
证法1 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
证明欣赏
c
∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2
c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ，
c 2 = a 2 + b 2，
∴ a 2 + b 2 = c 2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　 　　 ．
c 2
4× ab + ( b - a ) 2
证法2 赵爽弦图
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
A
B
C
已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2.
求证：△ABC 是直角三角形．
例1 证明此命题：
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自
己写出证明过程吗？
证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，
∴ AB 2 = DF 2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
定义总结
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
合作探究
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么关系？
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
互逆命题与互逆定理
3
观察上面三组命题，你发现了什么
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
说出下列命题的条件和结论：
如果 a＝b，那么 a ＝b ；
如果 a ＝b ， 那么 a＝b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置.
归纳总结
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
想一想
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
原命题：2 = 2，22 = 22；
逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2
此原命题是真命题；逆命题是假命题.
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
例如，本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理。
你还能举出一些互逆定理的例子吗？
归纳总结
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝48°，则∠B的度数为(　　)
A．42° B．52° C．132° D．142°
A
返回
D
返回
3．[长沙三模]如图，已知直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠2＝40°，则∠1的度数是(　　)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
C
返回
4．如图，已知△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴。若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是________。
(4，3)
返回
5．(4分)如图，已知∠ABC＝90°，CD⊥BD于点D，AE⊥BD于点E，AB＝BC，求证：AE＝BD。
证明：∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠D＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°。
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD。
又∵AB＝BC，∴△AEB≌△BDC(AAS)，∴AE＝BD。
返回
6．如图，在△ABC中，∠B＋∠C＝90°，AD是边BC上的高，则图中的直角三角形共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
返回
7．在下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．a2＝c2－b2
D．a2∶b2∶c2＝5∶12∶17
B
返回
8．(8分)如图，某公园有一块四边形空地ABCD，公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪，绿化环境，并在AC处修一条小路，经测量，∠B＝90°，AB＝10 m，BC＝20 m，CD＝20 m，AD＝30 m。
(1)小路AC的长为________；
(2)求种植草坪的面积。
返回
9．下列说法正确的是(　　)
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．定理的逆命题一定是真命题
A
返回
10．下列定理中没有逆定理的是(　　)
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形 全等
D．全等三角形的对应角相等
D
返回
11．下列命题的逆命题是真命题的是(　　)
A．若a>b，则a2>b2
B．两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等
C．全等三角形的对应角相等
D．若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形
B
返回
12．如图，在△ABC中，∠B为锐角，m⊥AB，n⊥BC，则下列角中，∠B的余角为(　　)
A．∠1 B．∠2 C．∠A D．∠C
A
返回
13．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A，B，C均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是(　　)
A．AB2＝20
B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10
D．点A到直线BC的距离是2
C
返回
B
返回
直角三角形
角的性质
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形

展开更多......

收起↑