资源简介

(共27张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.2第3课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.2第3课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质”核心内容设计，侧重等边三角形的三种判定方法、含30°角的直角三角形的核心性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半）及应用，贴合本节课重难点，助力掌握两种图形的核心知识点，能规范运用判定方法判断等边三角形、运用特殊直角三角形性质求边长，规避判定方法混淆、性质应用不规范等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于等边三角形的判定方法，错误的是（）A.三条边都相等的三角形是等边三角形B.三个角都相等的三角形是等边三角形C.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D.有两个角是60°的三角形是等腰三角形2.含30°角的直角三角形的核心性质是（）A.三个角分别为30°、60°、90°B. 30°角所对的直角边等于斜边的一半C.斜边等于直角边的2倍D. 60°角所对的直角边等于斜边的一半3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8cm，则30°角所对的直角边BC的长为（）A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm4.下列三角形中，能判定为等边三角形的是（）A.有两个角为60°的等腰三角形B.有一个角为60°的直角三角形C.三条边都不相等，但三个角都为60°D.有一个角为60°，且两条边相等的三角形5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，斜边AB=8cm，则∠A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题4分，共20分）1.等边三角形的判定方法1：________都相等的三角形是等边三角形；判定方法2：________都相等的三角形是等边三角形；判定方法3：有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。2.含30°角的直角三角形中，30°角所对的________边等于________的一半。3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个内角都等于________°，每条边上的中线、高、顶角平分线都________（填“重合”或“不重合”）。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，则斜边AB=________cm，另一条直角边BC=________cm（结果保留根号）。5.若一个等腰三角形的顶角为60°，则这个三角形是________三角形，依据是________。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用本节课知识点，完成下列题目（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，求直角边AC和BC的长；（3）在△ABC中，∠A=∠B=60°，BC=5cm，求△ABC的周长。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）判断：有一个角是60°的三角形一定是等边三角形；（2）解题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6cm，求AB的长。解：∵∠A=30°，∴AB=2AC=12cm；（3）判定：在△ABC中，AB=BC，∠B=60°，判定△ABC是等边三角形，理由是“三个角都相等的三角形是等边三角形”。四、拓展题（10分）已知在等边△ABC中，点D在AB上，且CD⊥AB，AD=2cm，求等边△ABC的边长及CD的长（提示：结合等边三角形性质和含30°角的直角三角形性质求解）。五、应用题（10分）一个直角三角形的一个锐角为30°，斜边与30°角所对的直角边的和为15cm，求这个直角三角形的三条边长；若将这个直角三角形沿30°角的对边折叠，求折叠后形成的新三角形的周长。参考答案提示：一、1.D 2.B 3.B 4.D 5.A；二、1.三条边，三个角，60°2.直角，斜边3.60，重合4.10，5√3 5.等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三、1.（1）证明：∵AB=AC（已知），∴△ABC是等腰三角形，又∵∠A=60°（已知），∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）；（2）∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，∴BC=1/2AB=5cm，由勾股定理得AC=√(AB -BC )=5√3cm；（3）∵∠A=∠B=60°，∴∠C=60°，△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=5cm，周长=15cm；2.（1）不正确，改正：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，普通三角形有一个角是60°不一定是等边三角形，错误原因：混淆等边三角形的判定条件；（2）不正确，改正：∠A=30°，其对边是BC，而非AC，∴BC=1/2AB，无法直接得出AB=2AC，应通过勾股定理求解，错误原因：误用含30°角的直角三角形性质（找错对应边）；（3）不正确，改正：理由是“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，错误原因：误用判定依据；四、∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，∴AD=1/2AB（三线合一），∵AD=2cm，∴AB=4cm（边长为4cm），在Rt△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，∴CD=√(AC -AD )=2√3cm；五、设30°角所对的直角边为x cm，则斜边为2x cm，由题意得x+2x=15，解得x=5，三条边长分别为5cm、5√3cm、10cm；折叠后新三角形为等边三角形（边长为5cm），周长=15cm。
学习目标
1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。
2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。
进行新课
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴进行交流。
1
等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些结论吗？
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠ B，
证一证
∴ AB = AC = BC.
∴ AB = AC.
∵∠B =∠C，
∴ AC = BC.
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∴ △ABC 是等边三角形.
A
B
C
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
∴ AB = AC = BC.
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形.
定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等
边三角形).
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是 60°.
A
C
B
60°
【验证】
操作：用两个含有 30° 角的三角板，
你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
合作探究
30°
30°
结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
含 30° 角的直角三角形的性质
2
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
猜想验证
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
30°
A
B
C
D
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∴ △ABD 是等边三角形
( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC＝ BD ＝ AB.
∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等).
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∵ AC＝AC，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
还有别的方法吗？
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
定义总结
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
C
B
A
D
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°.
C
B
A
D
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果一个锐角等
于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AB.
1．根据下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)
A．∠A＝∠B＝∠C
B．AB＝AC，且∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝60°
D．AB＝AC，且∠B＝60°
B
返回
2．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
C
返回
3．将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________。
2 cm
返回
4．如图，一艘轮船从A地出发，向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距________。
100海里
返回
5．(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形。
证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC。
又∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC。
∵∠ECB＝60°，∴∠B＝∠BEC＝60°，
∴△BCE是等边三角形。
返回
6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
C
返回
D
返回
8．[教材P16随堂练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AB等于(　　)
A．5
B．6
C．8
D．12
C
返回
D
返回
10．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D。求证：CD＝2AD。
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°。
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，
∴在Rt△ACD中，CD＝2AD。
返回
11．如图，直线AB∥CD，EG＝FG，∠1＝100°，∠2＝20°，则△EFG的形状为(　　)
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．无法确定
C
返回
B
返回
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8。若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________。
6或12
返回
1. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
2. 含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

展开更多......

收起↑