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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.4第1课时线段的垂直平分线第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.4第1课时线段的垂直平分线练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“线段的垂直平分线”核心内容设计，侧重线段垂直平分线的定义、性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握线段垂直平分线的基本特征，能运用性质判断线段相等、解决简单几何问题，理解性质的推导思路，规避定义混淆、性质应用不规范等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于线段垂直平分线的定义，正确的是（）A.垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线B.平分线段的直线叫做线段的垂直平分线C.垂直于线段且平分线段的直线叫做线段的垂直平分线D.垂直于线段且平分线段的线段叫做线段的垂直平分线2.线段垂直平分线的核心性质是（）A.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C.线段的垂直平分线是一条射线D.线段的垂直平分线有无数条3.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5cm，则PB的长度为（）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm4.下列说法中，正确的是（）A.线段的垂直平分线一定经过线段的中点B.线段的垂直平分线是线段的对称轴，且只有一条C.到线段两端距离相等的点只有一个D.线段的垂直平分线是一条线段5.若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6cm，AB=8cm，则△PAB的周长为（）A. 20cm B. 18cm C. 16cm D. 14cm二、填空题（每题4分，共20分）1.垂直于一条线段，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。2.线段垂直平分线的性质：________上的点到这条线段________的距离相等。3.线段是轴对称图形，它的对称轴是________。4.如图，直线l垂直平分线段AB，交AB于点O，点C在l上，若AC=7cm，则BC=________cm，AO=________（用AB表示）。5.若点M到线段AB两端的距离相等，且AB=10cm，点M到AB的距离为4cm，则△MAB的面积为________cm 。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用线段垂直平分线的性质，完成下列题目（写出完整步骤）。（1）如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点P、Q均在l上，求证：PA=PB，QA=QB；（2）已知：线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点C在l上，AC=5cm，OC=3cm，求AB的长度；（3）在△ABC中，AB=AC，直线l是BC的垂直平分线，交BC于点D，求证：AD平分∠BAC。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合线段垂直平分线的知识点）。（1）判断：垂直于线段的直线一定是线段的垂直平分线；（2）解题：如图，点P在直线l上，且PA=PB，所以直线l是线段AB的垂直平分线；（3）推导：因为线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以到线段两端距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，该推导正确。四、拓展题（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，BC=6cm，直线l是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，若BD=BC，求AD的长度（提示：结合线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求解）。五、应用题（10分）如图，在某小区内有A、B、C三个居民楼，现要修建一个便民服务站P，使服务站P到A、B两个居民楼的距离相等，且到C居民楼的距离为50m，已知AB的垂直平分线l上有两个符合条件的点，求这两个点之间的距离（提示：利用线段垂直平分线性质和勾股定理求解）。参考答案提示：一、1.C 2.A 3.C 4.A 5.A；二、1.平分2.线段垂直平分线，两端3.线段的垂直平分线4.7，1/2AB 5.20；三、1.（1）证明：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P、Q在l上，∴PA=PB，QA=QB（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）；（2）∵l是AB的垂直平分线，∴AO=BO，∠AOC=90°，由勾股定理得AO=√(AC -OC )=4cm，∴AB=2AO=8cm；（3）证明：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵l是BC的垂直平分线，∴AD是BC的中线，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）；2.（1）不正确，改正：垂直于线段且平分线段的直线才是线段的垂直平分线，错误原因：忽略“平分线段”的条件；（2）不正确，改正：单个点P到A、B距离相等，不能说明直线l是AB的垂直平分线，需有两个不重合的点到A、B距离相等，才能判定直线l是AB的垂直平分线，错误原因：误用线段垂直平分线的逆判定；（3）正确；四、∵l是AB的垂直平分线，∴AD=BD，又∵BD=BC=6cm，∴AD=6cm；五、设AB的垂直平分线l交AB于点O，符合条件的两点为P 、P ，连接CP 、CP ，CP =CP =50m，OC为定值（结合小区实际布局，OC可通过题意隐含条件求得），由勾股定理得P O=P O=√(50 -OC )，故P P =2×√(50 -OC )（具体数值可根据OC长度计算，此处侧重方法）。情境导入
A
B
P
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
点P是码头的位置
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，…
到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
线段垂直平分线的性质
1
将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
猜想：
点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能证明这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，
点 P 在 l 上.
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
P
A
B
l
C
验证结论
∴ PA = PB．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = CB，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB．
线段垂直平分线的性质定理：
归纳总结
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
练一练： 1. 如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
P
A
B
C
D
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
归纳总结
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝6，则线段PB的长度为(　　)
A．3
B．4
C．6
D．7
C
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2．[教材P34习题T5变式][达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(　　)
A．21
B．14
C．13
D．9
C
返回
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于________。
60°
返回
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是________。
4
返回
5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。
解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°。
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。
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6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
A
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7．[榆林二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　)
A．4
B．5
C．2
D．6
A
返回
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在线段________的垂直平分线上。(填“AB”或“AC”)
AC
返回
9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。
返回
10．[威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　　)
A．BO＝DO，AC⊥BD
B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA
D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
D
返回
11．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(　　)
A．1
B．2
C．4
D．5
A
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线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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