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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.3第2课时直角三角形全等的判定第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.3第2课时直角三角形全等的判定练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“直角三角形全等的判定”核心内容设计，侧重直角三角形全等的特殊判定方法（HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），同时结合已学的SSS、SAS、ASA、AAS判定方法，贴合本节课重难点，助力掌握直角三角形全等的专属判定技巧，能规范书写全等证明步骤，区分直角三角形与一般三角形全等的判定差异，规避HL定理误用、证明步骤不完整等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于直角三角形全等判定“HL定理”的说法，正确的是（）A.斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等B.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL定理）D.斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等2.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.斜边和一条直角边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中，能利用HL定理判定两三角形全等的是（）A. AC=DF，BC=EF B. AB=DE，AC=DF C. ∠A=∠D，AB=DE D. ∠B=∠E，BC=EF4.下列说法中，正确的是（）A. HL定理只能用于判定直角三角形全等，不能用于一般三角形B.所有三角形全等的判定方法都适用于直角三角形C.两个直角三角形，只要有一条边对应相等，就一定全等D.用HL定理判定直角三角形全等时，不需要强调“直角对应相等”5.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，则下列结论正确的是（）A. BC≠B'C' B. ∠A≠∠A' C.△ABC≌△A'B'C'（HL）D.△ABC≌△A'B'C'（SAS）二、填空题（每题4分，共20分）1.直角三角形全等的特殊判定方法（HL定理）：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。2.判定两个直角三角形全等的方法有：________、________、________、________、HL（填全等判定方法缩写）。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若要利用HL定理判定Rt△ABC≌Rt△DEF，除了需要AB=DE，还需要________=________。在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF，依据是________（填判定方法）。5.用HL定理判定直角三角形全等时，必须先明确两个三角形是________三角形，再找________和一条直角边对应相等。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用直角三角形全等的判定方法，完成下列证明（写出完整步骤，注明判定依据）。（1）已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF；（2）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥BC于点D，AB=AC，求证：△ABD≌△ACD；（3）已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D，AB=DE，求证：△ABC≌△DEF。2.辨析题：判断下列证明过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合直角三角形全等判定方法）。（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，∠A=∠D，∴△ABC≌△DEF（HL）；（2）证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（HL）；（3）证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'（HL）。四、拓展题（10分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别在AC、BC上，且AE=BF，DE⊥AB于点D，DF⊥AB于点D，AD=BD，求证：Rt△ADE≌Rt△BDF。五、应用题（10分）如图，在一座小山脚下，有两个直角三角形地块△ABC和△ADC，其中∠ACB=∠ACD=90°，AC是公共直角边，AB=AD，求证：BC=DC；若AC=6m，BC=8m，求AD的长度（提示：先判定全等，再利用勾股定理求解）。参考答案提示：一、1.B 2.D 3.B 4.A 5.C；二、1.斜边，直角边2.SSS，SAS，ASA，AAS 3.AC，DF（或BC，EF）4.SAS 5.直角，斜边；三、1.（1）证明：∵△ABC和△DEF是直角三角形，∠C=∠F=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\begin{cases} AB=DE \\ BC=EF \end{cases}$，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\begin{cases} AB=AC \\ AD=AD \end{cases}$，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；（3）证明：∵△ABC和△DEF是直角三角形，∠C=∠F=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\begin{cases} ∠A=∠D \\ ∠C=∠F \\ AB=DE \end{cases}$，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS）；2.（1）不正确，改正：依据应为AAS，错误原因：HL定理需斜边和一条直角边对应相等，而非一角一边；（2）不正确，改正：需补充∠C=∠F=90°，再用HL判定，错误原因：未明确两个三角形是直角三角形；（3）不正确，改正：依据应为SAS，错误原因：HL定理适用于斜边和一条直角边，而非两条直角边；四、证明：∵DE⊥AB，DF⊥AB，∴∠ADE=∠BDF=90°，∵AD=BD，在Rt△ADE和Rt△BDF中，$\begin{cases} AE=BF \\ AD=BD \end{cases}$，∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）；五、证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，$\begin{cases} AB=AD \\ AC=AC \end{cases}$，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴BC=DC；在Rt△ABC中，AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10m，∴AD=AB=10m。问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能
判定△ABC≌△DEF 吗？
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定
1
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
α
a
c
画一画
作法：
2. 过点作射线 CN 的垂线 CM .
3. 在射线 CM 上截取 CB＝a.
A
M
C
N
4. 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
5. 连接 AB.
B
α
a
c
1. 作射线 CN.
△ABC 就是所要作的直角三角形.
视频观看
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在△ABC中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
∴ BC＝B'C'.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
∵∠C＝90°
验证结论
归纳总结
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
“斜边、直角边”判定方法
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1) 一个锐角和这个角的对边对应相等； ( )
(2) 一个锐角和这个角的邻边对应相等； ( )
(3) 一个锐角和斜边对应相等； ( )
(4) 两直角边对应相等； ( )
(5) 一条直角边和斜边对应相等． ( )
HL
ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
例 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
解：根据题意，可知
∠ABC = ∠DEF = 90°，
B
A
D
F
C
E
证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD ＝ EF.
∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
1. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
练一练
1．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC。判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是(　　)
A．AAS
B．SAS
C．ASA
D．HL
D
返回
2．如图，AC⊥BD于点P，AP＝CP，添加下列一个条件，能直接利用“HL”判定△ABP≌△CDP的是(　　)
A．AB∥CD
B．∠B＋∠C＝90°
C．BP＝DP
D．AB＝CD
D
返回
3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为________。
50°
返回
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，E是AC上一点，连接BE，过点E作DE⊥AB，垂足为D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则 AE＋DE的值为____________。
6 cm
返回
5．(4分)如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠A＝∠D＝90°，求证：△ABC≌△DEF。
返回
6．(4分)如图，AD与BC相交于点O，AC⊥BC，BD⊥AD，AD＝BC。求证：OA＝OB。
返回
7．[教材P26例题变式]如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等。若DF＝6 m，DE＝8 m，AD＝4 m，则BF＝________m。
18
返回
8．(8分)如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人分别同时到达点C，D，若CB⊥AB，DA⊥AB。
(1)CB与DA相等吗？为什么？
(2)若∠DAC＝60°，求∠DBA的度数。
解：∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝90°－60°＝30°。
由(1)知Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠DBA＝∠CAB＝30°。
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“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等)

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