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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.5第1课时角平分线的性质与判定第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.5第1课时角平分线的性质与判定练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“角平分线的性质与判定”核心内容设计，侧重角平分线的定义、性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、判定方法（到角两边距离相等的点在角的平分线上）及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握角平分线的基本特征，能运用性质判断线段相等、运用判定方法确定角平分线，规范书写解题步骤，规避性质与判定混淆、距离判断错误等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于角平分线的定义，正确的是（）A.把一个角分成两个角的射线叫做这个角的平分线B.把一个角分成两个相等角的线段叫做这个角的平分线C.把一个角分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线D.过角的顶点且垂直于角的一边的射线叫做这个角的平分线2.角平分线的核心性质是（）A.角平分线上的点到角两边的距离相等B.到角两边距离相等的点在角的平分线上C.角平分线是角的对称轴D.角平分线垂直于角的两边3.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD=3cm，则PE的长度为（）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm4.下列说法中，正确的是（）A.角平分线是一条线段B.角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指的是线段长度C.到角两边距离相等的点只有一个D.角的平分线有无数条5.下列条件中，不能判定射线OC是∠AOB的平分线的是（）A. ∠AOC=∠BOC B.点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE C. ∠AOB=2∠AOC D. OC垂直于AB，且平分AB二、填空题（每题4分，共20分）1.从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的________，叫做这个角的平分线。2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两条________的________相等。3.角平分线的判定：到一个角的两条边的________相等的点，在这个角的________上。4.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若PM=5cm，ON=3cm，则PN=________cm，△PON的面积为________cm 。5.若点P到∠AOB两边的距离都为4cm，则点P在∠AOB的________上。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用角平分线的性质与判定，完成下列题目（写出完整步骤）。（1）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE；（2）已知：点P是∠AOB内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OP平分∠AOB；（3）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=2cm，求点P到OB的距离及OP的长度。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合角平分线的知识点）。（1）判断：角平分线上的点到角的顶点的距离相等；（2）解题：如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OC是∠AOB的平分线；（3）推导：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，该推导正确。四、拓展题（10分）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD，求证：AB=AC（提示：结合角平分线性质和全等三角形判定求解）。五、应用题（10分）如图，在某小区内有一个角形区域AOB，现要在区域内修建一个健身器材点P，使点P到OA、OB两边的距离相等，且到点A的距离为50m，已知∠AOB=45°，求点P到OA的距离（结果保留根号），并说明点P的位置如何确定。参考答案提示：一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.D；二、1.两个相等，射线2.边，距离3.距离，平分线4.5，7.5 5.平分线；三、1.（1）证明：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO中，$\begin{cases} PD=PE \\ OP=OP \end{cases}$，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP，∴OP平分∠AOB；（3）∵OC平分∠AOB，∴点P到OB的距离=PD=2cm，在Rt△POD中，∠AOP=30°，∴OP=2PD=4cm；2.（1）不正确，改正：角平分线上的点到角两边的距离相等，而非到顶点的距离，错误原因：混淆“到两边距离”与“到顶点距离”；（2）不正确，改正：需补充点P在∠AOB内部，才能判定OC是∠AOB的平分线，错误原因：未明确点P的位置，若点P在角外部，满足条件也不能判定；（3）正确；四、证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC；五、点P在∠AOB的平分线上（确定方法：作∠AOB的平分线，在平分线上截取PA=50m，点P即为所求）；设点P到OA的距离为xcm，∵∠AOP=22.5°，PD⊥OA，∴在Rt△POD中，可求得x=25√2 cm（具体计算结合等腰直角三角形性质）。角平分线的性质
1
1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE⊥OB，点 D、E 为垂足，测量 PD、PE 的长. 将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系：____
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD=PE
C
O
B
A
P
D
E
实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任
意一点.
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
知识要点
角平分线的判定
2
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。
尝试思考
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
结论证明
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识要点
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三
角形中，如果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半) .
1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
C
返回
2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不一定成立的是(　　)
A．PC＝PD
B．OC＝OD
C．CD垂直平分OP
D．PO平分∠CPD
C
返回
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝8 cm，AD＝5 cm，DE⊥AB，则AE＝________ cm。
4
返回
4．(4分)[教材P37随堂练习T1变式]如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置。
解：如图，点M即为水厂的位置。
返回
5．(4分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E。求证：AB＝BE。
返回
6．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B。下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(　　)
A．∠MOC＝∠NOC
B．PA＝PB
C．OA＝OB
D．PB＝OB
D
返回
7．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACB＝58°，则∠DCE＝(　　)
A．26°
B．29°
C．58°
D．32°
B
返回
8．如图，已知点P为∠AOB内部一点，PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，C为OP上一点，CD⊥OB于点D，且CD＝7，则点C到OA的距离是________。
7
返回
9．(4分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
返回
10．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　)
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等
D．l1与l2一定不相等
A
返回
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

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