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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）4.3第1课时平方差公式第四章因式分解授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册4.3第1课时平方差公式因式分解班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕平方差公式因式分解的核心的内容设计，侧重平方差公式的识别、公式应用及易错辨析，贴合本节课重难点，助力掌握平方差公式的结构特征，能准确运用公式分解因式，规避符号、公式混淆等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A. x +y B. x -y C. x +2xy+y D. x -xy+y 2.平方差公式a -b =(a+b)(a-b)中，下列说法正确的是（）A. a、b只能是单项式B. a、b可以是单项式或多项式C. a必须大于b D.公式只能分解二次多项式3.下列用平方差公式分解因式正确的是（）A. x -4=(x+4)(x-4) B. 4x -9=(2x+3)(2x-3) C. x -16=(x-8)(x+8) D. 2x -8=2(x -4)4.多项式-9x +16y 分解因式的结果是（）A. (3x+4y)(3x-4y) B. (4y+3x)(4y-3x) C. -(3x+4y)(3x-4y) D. (9x+16y)(-x+y)5.下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A. (x+y) -(x-y) B. a -4b C. x -(-y) D. x +y 二、填空题（每题4分，共20分）1.平方差公式因式分解的逆用：________ = (a+b)(a-b)（填公式左边形式）。2.用平方差公式分解因式的前提是：多项式是________形式，且两项都能写成________的形式，两项符号________。3.分解因式：x -16=________；4a -25b =________。4.分解因式：-x +1=________；(x+2) -9=________。5.若多项式x -k能用平方差公式分解因式，则k必须是________（填“正数”“负数”或“任意数”）。三、解答题（每题10分，共20分）1.用平方差公式分解下列因式。（1）x -81（2）25m -4n （3）-16x +49y （4）(a-b) -4c 2.辨析题：判断下列因式分解是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因。（1）x -4=(x+4)(x-4)（2）9a -4b =(3a+2b)(3a-2b)（3）-x +9=-(x +9)=-(x+3)(x-3)四、拓展题（10分）已知多项式x -ax-16能用平方差公式分解因式，求a的值；若将该多项式与x +5x+4合并，再分解因式，结果是什么？参考答案提示：一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.D；二、1.a -b 2.二项式，平方，相反3.(x+4)(x-4)，(2a+5b)(2a-5b) 4.(1+x)(1-x)，(x+5)(x-1) 5.正数；三、1.（1）(x+9)(x-9)；（2）(5m+2n)(5m-2n)；（3）(7y+4x)(7y-4x)；（4）(a-b+2c)(a-b-2c)；2.（1）不正确，改正：(x+2)(x-2)，错误原因：平方差公式应用错误，4的平方根是2而非4；（2）正确；（3）不正确，改正：(3-x)(3+x)，错误原因：符号变形错误，-x +9=-(x -9)=-(x+3)(x-3)=(3-x)(3+x)；四、a=0（提示：x -16=(x+4)(x-4)，对应x -ax-16，a=0）；合并后x +5x+4=(x+1)(x+4)（或结合题意调整a的值，若x -ax-16=(x+2)(x-8)，则a=6，合并后2x +5x-12，适配课时难度）。
学习目标
探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
导入新知
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
平方差公式：
用平方差公式进行因式分解
1
观察下面两个等式，它们有什么共同特征
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
(3x)2
是两数的平方差的形式
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
乘法公式
因式分解
52
运算法则：
文字说明：
两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积.
a2 - b2
= (a + b)(a b)
和
差
运用平方差公式因式分解
定义总结
将乘法公式 (a + b)(a b) = a2 - b2 反过来，就得到
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
√
√
辨一辨
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2 - y2
(4) -x2 + y2
(5) x2 - 25y2
(6) 9m2 - 1
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式.
总结
-(x2 + y2)
y2 - x2
x2 - (5y)2
(3m)2 - 12
典例精析
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2.
解：(1) 原式＝52－(4x)2
a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b)
＝(5＋4x)
(5－4x)
解：(2) 原式＝(3a)2－ ( b)2
＝(3a＋ b)2 (3a－ b)2
例2 分解因式：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝(b－a)(3a＋b).
解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式继续分解
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
(2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
方法总结
1.把下列各式分解因式：
(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)
＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
练一练
1．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是(　　)
A．－x2－1 B．－x2＋1
C．x2＋x D．x2＋1
B
返回
2．对多项式4x2－1进行因式分解，正确的是(　　)
A．(x＋1)(x－1) B．(2x＋1)(2x－1)
C．(4x＋1)(4x－1) D．(1＋2x)(1－2x)
B
返回
3．简便计算1002－992的结果为(　　)
A．1 B．99 C．100 D．199
D
返回
(x＋3)(x－3)
返回
5．已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝________。
－6
返回
6．(20分)分解因式：
(1)x2－25y2;
解：x2－25y2＝(x＋5y)(x－5y)。
(3)－49＋m2n2;
(4)(a－2b)2－1；

(5)9(m－2n)2－(m＋2n)2。
解：－49＋m2n2＝(mn＋7)(mn－7)。
返回
(a－2b)2－1＝(a－2b＋1)(a－2b－1)。
9(m－2n)2－(m＋2n)2＝[3(m－2n)＋(m＋2n)][3(m－2n)－
(m＋2n)]＝(3m－6n＋m＋2n)(3m－6n－m－2n)＝(4m－
4n)(2m－8n)＝8(m－n)(m－4n)。
7．分解因式：a3－a＝(　　)
A．a(a＋1)(a－1) B．a(a2－1)
C．(a＋1)(a－1) D．a(a2＋1)
A
返回
8．分解因式：
(1)x3－25x＝____________；
(2)2x3－8x＝______________。
x(x＋5)(x－5)
返回
2x(x＋2)(x－2)
9．(16分)分解因式：
(1)3a2－12;
(2)x2y－9y；
(3)－5mx2＋20my2;
解：原式＝3(a2－4)＝3(a＋2)(a－2)。
返回
原式＝y(x2－9)＝y(x＋3)(x－3)。
原式＝－5m(x2－4y2)＝－5m(x＋2y)(x－2y)。
3a－4
返回
11．如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R＝7.8 cm，r＝1.1 cm时，图中阴影部分的面积为________cm2。(结果保留π)
56π
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12．为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，如图，这是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积。若m＋n＝
8，m－n＝2，则S1－S2＝(　　)
A．12 B．14
C．16 D．22
C
返回
13．[保定期中]若k为任意整数，则(k＋2)2－(k－1)2的值总能(　　)
A．被2整除 B．被3整除
C．被5整除 D．被7整除
B
返回
14．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该指数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是x－4y2，则x的指数的可能结果共有(　　)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
D
返回
15．[内江中考]已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________。
4
返回
16．(8分)因式分解：
(1)a5－81a；

(2)2a2(n－m)＋8(m－n)。
解：原式＝a(a4－81)＝a(a2＋9)(a2－9)
＝a(a2＋9)(a＋3)(a－3)。
返回
原式＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a－2)。
17．(4分)简便计算：25×1012－992×25。
解：原式＝25×(1012－992)
＝25×(101＋99)×(101－99)
＝25×200×2
＝10 000。
返回
18．(12分) 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为奇特数。
例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，则8，16，24这三个数都是“奇特数”。
(1)填空：40________“奇特数”，2 020________“奇特数”。(填“是”或“不是”)
是
不是
(2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n是正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？
解：是。理由：
∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－
1)]＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数。
(3)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为199，求阴影部分的面积。
返回
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.

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