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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）4.3第2课时完全平方公式第四章因式分解授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册4.3第2课时完全平方公式因式分解班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕完全平方公式因式分解的核心内容设计，侧重完全平方公式的结构识别、公式应用及易错辨析，贴合本节课重难点，助力掌握完全平方公式的逆用方法，能准确识别符合公式的多项式，规范分解因式，规避符号、漏项等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A. x +xy+y B. x -2x+1 C. x +2x-1 D. x -4x+4y 2.完全平方公式a ±2ab+b =(a±b) 中，下列说法正确的是（）A.公式左边只能是三项式B. a、b只能是单项式C.公式左边的两项必须是平方项且符号相同D.公式右边的底数只能是单项式3.下列用完全平方公式分解因式正确的是（）A. x +6x+9=(x+3) B. x -6x+9=(x-6) C. 4x +4x+1=4(x+1) D. x +2x-1=(x+1) 4.多项式4x -12xy+9y 分解因式的结果是（）A. (2x-3y) B. (2x+3y) C. (4x-3y) D. (2x-9y) 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）A. (x+y) -4(x+y)+4 B. x -2x+1 C. x +4x+4 D. x +2x-4二、填空题（每题4分，共20分）1.完全平方公式因式分解的逆用：________ = (a+b) ，________ = (a-b) （填公式左边形式）。2.用完全平方公式分解因式的前提是：多项式是________形式，其中两项是________且符号________，第三项是这两项底数乘积的________。3.分解因式：x +8x+16=________；9a -12ab+4b =________。4.分解因式：-x +4x-4=________；(a+b) -6(a+b)+9=________。5.若多项式x +ax+4能用完全平方公式分解因式，则a的值为________。三、解答题（每题10分，共20分）1.用完全平方公式分解下列因式。（1）x -10x+25（2）25m +20mn+4n （3）-4x +12xy-9y （4）(x-y) +8(x-y)+162.辨析题：判断下列因式分解是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因。（1）x +4x+4=(x+4) （2）9x -6x+1=(3x-1) （3）-x +2x-1=-(x +2x+1)=-(x+1) 四、拓展题（10分）已知多项式x +6x+k能用完全平方公式分解因式，求k的值；若将该多项式与x -4x+4合并，再分解因式，结果是什么？参考答案提示：一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.D；二、1.a +2ab+b ，a -2ab+b 2.三项式，平方项，相同，2倍3.(x+4) ，(3a-2b) 4.-(x-2) ，(a+b-3) 5.±4；三、1.（1）(x-5) ；（2）(5m+2n) ；（3）-(2x-3y) ；（4）(x-y+4) ；2.（1）不正确，改正：(x+2) ，错误原因：完全平方公式应用错误，中间项与平方项底数不匹配；（2）正确；（3）不正确，改正：-(x -2x+1)=-(x-1) ，错误原因：符号变形错误，括号内二次项符号错误；四、k=9（提示：x +6x+9=(x+3) ）；合并后2x +2x+13（或调整为2x +2x+13，若适配课时难度，改为合并后2x +2x+13，无法继续分解，或调整k值使合并后可分解）。
你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
用完全平方公式分解因式
1
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2 + 2ab + b2
(a + b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
=
将上面的等式逆过来写，能得到：
我们把 a + 2ab + b 和 a - 2ab + b 这样的式子叫做完全平方式.
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
完全平方式：
定义总结
运算法则：
运用完全平方公式因式分解
文字说明：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___（或___）的平方.
a2±2ab + b2
= (a±b)2
和
差
方法总结
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式(或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与 -1 的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
( )2 + 2×( )×( ) + ( )2
分析：
例1 把下列完全平方式因式分解：
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
x
x
7
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
7
分析：
( )2 + 2×( )×( )+ ( )2
(1) x2 + 14x + 492；
m + n
m + n
3
3
典例精析
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2 －4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
解析：(1) 中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形，然后再利用公式分解因式.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
B
返回
2．已知关于x的二次三项式x2－8x＋k是完全平方式，则常数k等于________。
16
返回
3．[成都中考]多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________(填一个即可)。
4x
(答案不唯一)
返回
4．多项式x2－4x＋4因式分解的结果是(　　)
A．x(x－4)＋4 B．(x＋2)(x－2)
C．(x＋2)2 D．(x－2)2
D
返回
5．下列因式分解正确的是(　　)
A．m2＋n2＝(m＋n)(m－n)
B．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
C．2ab－a2－b2＝－(a＋b)2
D．a2－2a＋1＝(a＋1)2
B
返回
6．因式分解：
(1)x2－4xy＋4y2＝____________；
(2)x2y2－2xy＋1＝____________。
(x－2y)2
返回
(xy－1)2
7．(16分)因式分解：
(1)x2－6x＋9；
解：原式＝(x－3)2。
(3)36y2－12xy＋x2；

(4)9(a－b)2＋42(a－b)＋49。
解：原式＝(6y－x)2。
返回
原式＝[3(a－b)＋7]2＝(3a－3b＋7)2。
8．因式分解：
(1)2x2－4x＋2＝________；
(2)[烟台中考]2x2－12xy＋18y2＝__________________；
(3)2b3－4b2＋2b＝________；
(4)x3y－10x2y＋25xy＝________。
2(x－1)2
返回
2(x－3y)2
2b(b－1)2
xy(x－5)2
9．(12分)因式分解：
(1)3a2－6ab＋3b2；

(2)4x3－8x2＋4x；

(3)－3x3＋6x2y－3xy2。
解：原式＝3(a2－2ab＋b2)＝3(a－b)2。
返回
原式＝4x(x2－2x＋1)＝4x(x－1)2。
原式＝－3x(x2－2xy＋y2)＝－3x(x－y)2。
10．如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．0 B．1 C．4 D．9
D
返回
11．[河北模拟]如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为2mn，4n2，m2，2mn，其中m>0，n>0，则原正方形菜地的边长为(　　)
A．m＋n
B．m－n
C．m＋2n
D．2m＋n
C
返回
12．将x2－ax＋4分解因式得到(bx＋2)2，其中a，b是常数，则a＋b＝(　　)
A．±3 B．－3 C．3 D．4
A
返回
13．无论a，b取何值，代数式2ab－a2－b2－1的值一定是(　　)
A．非正数 B．负数
C．正数 D．非负数
B
返回
14．因式分解：
(1)(x＋2)(x＋4)＋1＝________；
(2)(a＋1)2－4a＝________。
(x＋3)2
返回
(a－1)2
整式的乘法
相反
变形
因式分解
a2 + 2ab + b2 =_______.
a2 - 2ab + b2 =_______.
(a + b)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab - b2
完全平方公式
(a - b)2
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方.
和
差

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