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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）第四章小结与复习第四章因式分解授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册第四章因式分解小结与复习练习题班级：________姓名：________得分：________本套复习题围绕第四章因式分解核心知识点（因式分解定义、提公因式法、公式法）设计，侧重知识点整合、易错辨析与综合应用，帮助梳理本章知识体系，巩固重难点，提升综合运用因式分解方法解决问题的能力。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列等式中，属于因式分解的是（）A. (x+3)(x-3)=x -9 B. x -4x+4=(x-2) C. x +5x+6=x(x+5)+6 D. 2x +4x=2x (1+2/x)2.下列多项式中，既能用提公因式法分解，又能用公式法分解的是（）A. x +4 B. x +2x+1 C. x -2x D. x -xy+y 3.下列用提公因式法分解因式正确的是（）A. 3x -6x=3(x -2x) B. 2(x-1)-x(1-x)=(x-1)(2+x) C. -x +4x=-x(x+4) D. x(x-y)+y(y-x)=(x-y) 4.用公式法分解因式，下列结果正确的是（）A. x -16=(x-4) B. 4x -9=(2x+3)(2x-3) C. x +8x+16=(x+4)(x-4) D. 9x -6x+1=3x(3x-2)+15.下列说法错误的是（）A.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式B.提公因式时，公因式可以是单项式或多项式C.平方差公式和完全平方公式都可以逆用进行因式分解D.因式分解无需考虑符号问题二、填空题（每题4分，共20分）1.把一个多项式化成几个________的积的形式，叫做因式分解；因式分解与________互为逆运算。2.提公因式法的核心是先确定________，再将多项式化为公因式与另一个整式的积；公因式可以是________或________。3.分解因式：-2x y+4xy -6xy=________；(x-2) -4=________。4.若多项式x +ax+b能用完全平方公式分解因式，且分解结果为(x+3) ，则a=________，b=________。5.分解因式：x -4x=________；4a -12ab+9b =________。三、解答题（每题15分，共30分）1.综合分解因式（选择合适的方法，确保分解彻底）。（1）8x -2x（2）-3a b+6ab -3b （3）(x+2) -10(x+2)+25（4）x(x-y)-y(y-x)2.辨析与改正：判断下列因式分解是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因。（1）x -4x-4=(x-2) （2）2a -8=2(a -4)=2(a+2)(a-2)（3）-x +6x-9=-(x +6x+9)=-(x+3) （4）(x+y) -4(x+y)=(x+y)(x+y-4)四、拓展题（10分）已知多项式ax +bx+c（a≠0）既能用提公因式法分解，又能用完全平方公式分解，且分解结果为2(x-1) ，求a、b、c的值；若将该多项式与3x -2x+1合并，再分解因式，结果是什么？五、综合应用题（10分）已知x=2时，多项式x -4x +mx+n的值为0，且该多项式能分解因式为(x-2)(x +ax+b)，求m、n、a、b的值，并将原多项式分解因式至不能再分解。参考答案提示：一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.D；二、1.整式，整式乘法2.公因式，单项式，多项式3.-2xy(x-2y+3)，(x-4)x 4.6，9 5.x(x+2)(x-2)，(2a-3b) ；三、1.（1）2x(2x+1)(2x-1)；（2）-3b(a -2ab+b )=-3b(a-b) ；（3）(x+2-5) =(x-3) ；（4）(x-y)(x+y)；2.（1）不正确，改正：无法用完全平方公式分解，错误原因：常数项符号错误，不符合完全平方公式结构；（2）正确；（3）不正确，改正：-(x -6x+9)=-(x-3) ，错误原因：括号内一次项符号错误；（4）正确；四、a=2，b=-4，c=2；合并后5x -6x+3（无法继续分解，适配课时难度）；五、m=0，n=0，a=-2，b=0；原多项式分解结果为x(x-2) 。一、因式分解
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫
做多项式的_________，也叫将多项式__________.
2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______：
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者
是把几个整式的______化为一个________.
因式分解
乘积
分解因式
整式乘法
相反
多项式
乘积
乘积
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)系数：多项式各项整数系数的 ；
(2)字母：多项式各项　 　的字母；
(3)各字母指数：取次数最　　的．
公因式
公因式
最大公约数
相同
低
3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把
_______写在括号外边，作为积的一个_____，这
种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
分配
公因式
因式
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式
a2－b2＝　 　 ；
2. 多项式的特征：(1) 可化为个____整式；
(2) 两项符号______；
(3) 每一项都是整式的______.
3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式；
(2) 进行到每一个多项式都不能再分解
为止.
(a＋b)(a－b)
两
相反
平方
四、公式法 —— 完全平方公式
1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2
a2 - 2ab + b2 = ( )2
2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_______
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的______
的_____倍.
3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a + b
a - b
平方和
乘积
±2
公因式
例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1) a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a；
(2) (a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10；
(3) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2；
(4) 3x - 2xy + x = x(3x - 2y)2.
考点一 因式分解与整式乘法的关系
不是
不是
是
不是
1．[深圳月考]下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．x2－4＋4x＝(x＋2)(x－2)＋4x
B．(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3
C．x2－6x＝x(x－6)
D．a(x－y)＝ax－ay
C
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2．多项式4a2－2ab与多项式4a2－b2的公因式为(　　)
A．2a－b B．2a
C．2a＋b D．4a2－b
A
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D
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4．[烟台期中]把多项式ax2－□ax＋16a分解因式的结果为 a(x－4)2，则“□”中的数为(　　)
A．－4 B．－8
C．8 D．16
C
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5．将多项式(m－n)3－m(m－n)2－n(n－m)2因式分解，结果为(　　)
A．2(m－n)3 B．2m(m－n)2
C．－2n(m－n)2 D．2(n－m)3
C
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6．分解因式：
(1)[湖南中考]a2＋13a＝________；
(2)[苏州中考]x2－9＝__________；
(3)[东营中考]2m3－12m2＋18m＝______________。
a(a＋13)
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(x＋3)(x－3)
2m(m－3)2
7．若mn＝2，m－n＝1，则代数式m2n－mn2的值是________。
2
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8．(16分)分解因式：
(1)8m2－12mn；　　
(2)a3－4ab2；
(3)3a2＋6ab＋3b2；　
(4)x2(m－n)＋(n－m)。
解：原式＝4m(2m－3n)。
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原式＝a(a＋2b)(a－2b)。
原式＝3(a＋b)2。
原式＝(m－n)(x＋1)(x－1)。
9．(8分)利用因式分解计算：
(1)1 9652＋1 965×70＋352；

(2)10×912－10×92。
解：原式＝1 9652＋2×1 965×35＋352＝(1 965＋35)2＝
2 0002＝4 000 000。
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原式＝10×(912－92)＝10×(91＋9)×(91－9)＝82 000。
10．若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能(　　)
A．被2整除 B．被3整除
C．被5整除 D．被7整除
B
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11．如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么代数式c2＋2ab－a2－b2的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
A
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12．如图，将一块长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形．观察图形，可以发现代数式2m2＋7mn＋3n2可以因式分解为______________。
(2m＋n)(m＋3n)
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13．已知a＝m＋2 025，b＝m＋2 026，c＝m＋2 027，则代数式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为________。
3
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14．(8分)如图，这是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形。已知半圆形草坪的半径为r，长方形草坪的长为l。
(1)利用整式乘积的形式表示草坪的面积S；
(2)当r＝30 m，l＝100 m时，求草坪的面积S。(π取3.14)
解：S＝2lr＋πr2＝r(2l＋πr)。
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当r＝30 m，l＝100 m时，
S≈30×(2×100＋3.14×30)
＝30×294.2
＝8 826(m2)。
15．若a2－2a－2＝0，则a3＋a2－8a＋2 026的值为(　　)
A．2 026 B．2 032
C．2 028 D．2 020
B
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