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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）第一章小结与复习第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册第一章小结与复习班级：________姓名：________得分：________本章围绕“三角形的相关性质与判定”展开，核心知识点包括三角形的内角和与外角性质、等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定、直角三角形的性质、判定及全等判定、线段的垂直平分线、角平分线的性质与应用。本小结与复习文档整合本章重难点、易错点，搭配综合练习题，帮助巩固知识、理清脉络，提升综合运用能力。一、本章核心知识点梳理（一）三角形的基本性质1.三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°；2.三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；3.三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为等腰三角形、等边三角形、一般三角形。（二）等腰三角形与等边三角形1.等腰三角形-性质：两腰相等；两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；是轴对称图形。-判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。2.等边三角形-性质：三条边都相等；三个内角都等于60°；具备等腰三角形的所有性质；是轴对称图形（三条对称轴）。-判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。3.含30°角的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。（三）直角三角形1.性质：两锐角互余；斜边中线等于斜边的一半；满足勾股定理（后续学习）；2.判定：有一个角是90°的三角形是直角三角形；两锐角互余的三角形是直角三角形；3.全等判定：除SSS、SAS、ASA、AAS外，专属HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。（四）线段的垂直平分线1.定义：垂直于线段且平分线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）；2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3.三角形三边垂直平分线：相交于一点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等；锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。（五）角平分线1.定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫做角的平分线；2.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；3.判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上；4.三角形三条内角平分线：相交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等，且一定在三角形内部，是三角形内切圆的圆心。（六）反证法步骤：假设命题的结论不成立→推出与已知条件、定理、公理矛盾→假设不成立→原命题成立（主要用于证明唯一性、否定性命题）。二、本章易错点辨析1.混淆等腰三角形“性质”与“判定”：“等边对等角”是性质（由边相等推角相等），“等角对等边”是判定（由角相等推边相等）；2.误用“三线合一”：仅适用于等腰三角形，且必须是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线与高不重合；3.混淆内心与外心：内心是三条内角平分线交点（到三边距离相等），外心是三条三边垂直平分线交点（到三个顶点距离相等）；4. HL定理误用：仅适用于直角三角形，且必须是“斜边+一条直角边”对应相等，不能用于一般三角形；5.角平分线、线段垂直平分线性质误区：忽略“距离”的定义（角平分线中是到“两边”的垂线段长度，线段垂直平分线中是到“两端点”的线段长度）。三、综合练习题（总分100分）（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.三角形的一个外角等于两个内角的和B.等腰三角形的对称轴是底边上的高C.直角三角形的外心在斜边中点D.三角形的内心到三个顶点的距离相等2.等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为（）A. 40°B. 70°C. 40°或70°D. 110°3.用反证法证明“三角形中最多有一个直角”，应假设（）A.三角形中有两个直角B.三角形中有三个直角C.三角形中没有直角D.三角形中至少有两个直角4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件能判定两三角形全等的是（）A. ∠A=∠D，BC=EF B. AB=DE，AC=DF C. ∠B=∠E，AB=EF D. AC=DF，∠B=∠E5.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=6，AD=4，则△ABC的周长为（）A. 16 B. 18 C. 20 D. 22（二）填空题（每题4分，共20分）1.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是________边形；2.直角三角形的两锐角互余，若一个锐角为35°，则另一个锐角为________°；3.已知△ABC的外心在三角形外部，则△ABC是________三角形；4.角平分线上的点到角两边的距离相等，若点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，则PE=________cm；5.等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为________。（三）解答题（每题12分，共60分）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，求BC和AC的长度（写出完整步骤）。2.已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，AD⊥BC，求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD（结合等腰三角形性质证明）。3.用尺规作△ABC的内心和外心（保留作图痕迹，不写作法），并说明内心和外心的区别。4.已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF（注明判定依据）。5.某小区有A、B、C三个居民楼，现要修建一个便民服务站P，使P到A、B的距离相等，且到C的距离最短，用尺规作出P的位置（保留作图痕迹），并说明理由。四、参考答案与解析（一）选择题：1.C 2.C 3.D 4.B 5.A（二）填空题：1.八2.55 3.钝角4.3 5.15（三）解答题1.解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，∴BC=1/2AB=5cm（含30°角的直角三角形性质）；由勾股定理得AC=√(AB -BC )=√(10 -5 )=5√3 cm。2.证明：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC，∴AD是BC边上的中线和顶角平分线（等腰三角形三线合一），∴BD=CD，∠BAD=∠CAD。3.作图：内心是三条内角平分线的交点，外心是三条三边垂直平分线的交点（保留弧痕）；区别：内心到三边距离相等，外心到三个顶点距离相等；内心一定在三角形内部，外心位置随三角形类型变化。4.证明：∵△ABC和△DEF是直角三角形，∠C=∠F=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\begin{cases} AB=DE \\ AC=DF \end{cases}$，∴Rt△ABC≌△DEF（HL）。5.作图：作线段AB的垂直平分线l，过点C作l的垂线，垂足即为点P（保留痕迹）；理由：线段垂直平分线上的点到A、B距离相等，点到直线的垂线段最短，故垂足P即为所求。一、三角形内角和与外角
1. 三角形的内角和定理与外角的性质
(1) 三角形的内角和等于______；
(2) 三角形的一个外角____和它不相邻的两个内角的和；
180°
等于
大于
(3) 三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
2.多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于 (n - 2)×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
(4) _____________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.
顶角平分线
(3) 两个_______相等，简称“等边对等角”；
底角
(2) 轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴；
二、等腰三角形的性质及判定
1. 性质
(1) 两腰相等；
2. 判定
(1) 有两边相等的三角形是等腰三角形；
(2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“____________”).
等角对等边
三、等边三角形的性质及判定
1. 性质
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于______；
(3) 是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；
(4) 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高
互相重合，简称“三线合一”.
60°
2. 判定
(1) 三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3) 有一个角是 60° 的____________是等边三角形.
等腰三角形
(5) 在直角三角形中，30° 的角所对的直角边等于斜边
的一半.
直角三角形的性质定理1
直角三角形的两个锐角______.
互余
直角三角形的判定定理1
有两个角______的三角形是直角三角形.
互余
四、直角三角形
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
.
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a，b (且a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝________；当 a 是斜边时，第三边 c＝________.
五、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的　 .
即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
平方
a2 ＋b2 ＝ c2
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
六、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2 ＋b2 ＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
c2
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：
(1) 确定最大边；
(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；
(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若
相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
平方和
直角
到目前为止判定直角三角形的方法有：
(1) 说明三角形中有一个角是　 ，或者有两个角______；
(2) 说明三角形中有两边互相　 ；
(3) 用勾股定理的逆定理．
直角
垂直
[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出 a2 ＋ b2 ＝ c2 之类的错误．
互余
1. 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　 ，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两个命题叫做互逆命题．
2. 逆命题
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成
　 　，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题．
结论
条件
结论
条件
七、逆命题和互逆命题
3. 逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
逆
1. 线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
2. 逆定理：
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
八、线段的垂直平分线
3. 常见的基本作图
(1) 过已知点作已知直线的　 　；
(2) 作已知线段的垂直　 　线．
垂线
平分
4. 三角形的三边的垂直平分线的性质：
三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.
1. 性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2. 判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3. 三角形的三条内角平分线的性质：
三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的
距离相等.
九、角平分线的性质与判定
1．[淮安二模]某品牌椅子的侧面图如图所示，DE与地面AB平行。若∠DEF＝120°，∠ABD＝60°，则∠ACB＝(　　)
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
B
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2．[湖州二模]如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变。若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
D
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3．[安阳模拟]如图，某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西38°方向上，船只C在灯塔的北偏东22°方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东78°方向上，则∠ACB的度数为________。
80°
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4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论可能错误的是(　　)
A．∠ADC＝90°
B．DE＝DF
C．AD＝BC
D．BD＝CD
C
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5．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
A
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6．如图①，衣架杆OA＝OB＝16 cm(O为衣架的固定点)；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是(　　)
A．8 cm
B．16 cm
C．12 cm
D．6 cm
B
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7．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论。
解：△APQ是等腰三角形。
证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。
∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°。
∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°。
∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC。
又∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P。
∴AP＝AQ，∴△APQ为等腰三角形。
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8．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，顶点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的度数为(　　)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
C
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9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠C－∠B＝∠A
B．c2＝b2－a2
C．∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶2
D．a∶b∶c＝3∶4∶5
C
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10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝________。
3
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11．(4分)如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积。
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12．[湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．6
B．9
C．12
D．18
C
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13．[咸阳期中]如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
D
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14．如图，等边三角形ABC的三条边的垂直平分线交于点O，写出△AOB，△BOC和△AOC周长的数量关系：____________________。
C△AOB＝C△BOC＝C△AOC
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15．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°。
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线，交AD于点E，并作线段BE的垂直平分线分别交AB，BC于点M，N，连接ME和NE；(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图。
(2)若∠ABC＝70°，求所作图中∠AEM的度数。
解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE。
∵MN垂直平分BE，∴MB＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB，∴∠MEB＝∠CBE，
∴ME∥BC，∴∠AME＝∠ABC＝70°。
∵∠A＝90°，∴∠AEM＝90°－70°＝20°。
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16．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设(　　)
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0
C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
B
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17．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的有________个。
3
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18．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合。若∠CAD∶∠BAD＝1∶2，则∠B的度数为________。
36°
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19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜70°)，与AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′
与射线AB相交于点E。若△A′DE是等腰三
角形，则α的度数为______________。
15°或30°或60°
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