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第六单元 数与代数第10课时 比和比例（2）教学设计
一、教材分析（核心素养视角）
本节课是比和比例板块的收尾复习课，承接上一课比和比例的意义、性质及解比例知识，聚焦正比例、反比例、比例尺、用比例解决实际问题四大核心内容，是小学阶段比例知识的综合应用与升华，也是衔接初中函数知识的重要铺垫，在数与代数复习体系中兼具基础性与应用性。从数学核心素养培育层面分析：
一是培育量感与函数意识，通过辨析正、反比例的意义，感知两种相关联量的变化规律，初步建立变量间的依存关系，渗透函数思想；
二是强化模型意识，借助比例尺的意义构建图上距离、实际距离与比例尺的数学模型，依托正、反比例关系构建解题模型，体会数学建模的实用性；
三是发展推理意识，引导学生判断正反比例、梳理比例解题的数量关系，培养有据可依、逻辑严谨的分析推理能力；
四是落实应用意识，结合地图测绘、行程、工程、购物等生活实景问题，让学生运用比例知识解决实际问题，感受数学与生活的紧密联系，实现知识技能与核心素养的同步提升。
二、教学目标
1.理解正比例、反比例的意义，能正确判断两种量的比例关系；掌握比例尺的意义及相关计算，熟练运用比例知识解决实际问题。
2.通过对比辨析、例题精讲、实操训练，提升比例判断、比例尺计算、比例解题的综合能力。
3.体会比例知识的生活价值，养成细致审题、规范解题、严谨验算的习惯，激发数学应用兴趣。
三、教学重难点
教学重点：正、反比例的判断，比例尺的计算，用比例解决实际问题的步骤与方法。
教学难点：区分正、反比例关系，灵活运用比例尺公式计算，找准比例解题中的等量关系。
四、教学准备
教师准备：多媒体课件（含正反比例对比表、比例尺例题、比例解题模板、分层习题、错题辨析）、知识梳理思维导图；学生准备：练习本、文具，上一课比和比例（1）笔记，提前回顾比例相关基础知识。
五、课堂导入（含设计意图）
导入环节
师：上节课我们复习了比和比例的意义、基本性质，还学会了解比例，大家已经掌握了比例的基础运算。那生活中两种相关联的量，比如路程一定时，速度和时间有什么关系？单价一定时，总价和数量又有什么关系？绘制地图时，图上的长度和实际距离又该怎么换算呢？
（学生自由发言，部分学生对量的关系、比例尺计算模糊不清）
师：这些问题都藏着比例的应用知识，这节课我们就深入复习比和比例（2），吃透正比例、反比例、比例尺三大知识点，学会用比例解决各类实际问题，把比例知识真正用活、用好。
【设计意图：衔接上一课旧知，结合生活中常见的数量关系创设问题情境，唤醒学生已有知识经验，暴露知识薄弱点，点明本节课核心复习内容，激发学生的探究欲与学习主动性，自然过渡到新课知识梳理，让学生明确学习目标。】
六、教学过程
（一）对比辨析，吃透正反比例的意义与判断
师：首先复习正比例和反比例，大家先思考：什么是正比例？什么是反比例？二者有什么相同点和不同点？前后桌四人一组讨论，一会请小组代表分享。
小组1代表：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果它们的比值（商）一定，就是正比例关系，式子是=k（一定）。
小组2代表：如果它们的乘积一定，就是反比例关系，式子是xy=k（一定）。
师：同学们总结得很精准，老师用对比表帮大家梳理异同，重点抓核心判断依据：正比例看“商一定”，反比例看“积一定”，相同点是都有两种相关联的量，一种量随另一种量变化；不同点是变化规律、定量不同。
即时判断练习：判断下列两种量成什么比例，并说明理由。
① 速度一定，路程和时间；② 总价一定，单价和数量；③ 正方形的边长和面积；④ 工作总量一定，工作效率和工作时间。
生：逐一判断，教师点评纠错，重点强调：正方形边长和面积比值、积都不一定，不成比例；只有比值或积唯一确定时，才成正或反比例。
【设计意图：以小组讨论梳理概念，结合对比表明晰异同，通过即时判断强化核心判断方法，突破正反比例混淆的难点，培养学生的辨析能力与推理意识。】
（二）精讲公式，掌握比例尺的计算与应用
师：接下来复习比例尺，大家回忆：什么是比例尺？核心公式是什么？比例尺有哪些类型？
生1：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，核心公式是比例尺=图上距离∶实际距离。
生2：比例尺分为数值比例尺和线段比例尺，比如1∶10000是数值比例尺，线段比例尺是用线段表示实际距离。
师：重点强调三大注意事项：第一，计算时单位要统一，通常把实际距离化成厘米，再化简比例尺；第二，比例尺是一个比，不带单位；第三，公式变形：图上距离=实际距离×比例尺，实际距离=图上距离÷比例尺。
例题1：数值比例尺计算
一幅地图，图上距离4厘米表示实际距离2千米，求这幅地图的比例尺。
师：引导统一单位：2千米=200000厘米，比例尺=4∶200000=1∶50000，规范化简步骤。
例题2：求实际距离
在比例尺1∶50000的地图上，量得两地距离6厘米，实际距离是多少？
师：引导用公式计算：实际距离=6÷(1/50000)=300000厘米=3千米，强调单位换算。
生板演：求图上距离（实际距离5千米，比例尺1∶200000），教师巡视纠错，规范解题步骤。
【设计意图：梳理核心公式，强调易错细节，结合两类典型例题精讲实操，夯实比例尺计算能力，突破单位换算、公式变形的难点，落实模型意识。】
（三）规范步骤，学会用比例解决实际问题
师：用比例解决实际问题，核心是先判断两种量成正比例还是反比例，再根据比值一定或乘积一定列比例式，遵循“一审二判三设四列五解六验答”七步解题法。
例题1：正比例应用题
一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，5小时行驶多少千米？
师：引导分析：速度一定，路程和时间成正比例，比值（速度）相等。解：设5小时行驶x千米。180:3 = x:5，3x=900，x=300。检验作答：速度60千米/小时，5小时行驶300千米，符合题意。
例题2：反比例应用题
一间教室，用边长3分米的方砖铺地，需要400块；如果改用边长5分米的方砖铺地，需要多少块？
师：引导分析：教室面积一定，每块方砖面积和块数成反比例，乘积（总面积）相等。解：设需要x块。(5×5)x = (3×3)×400，25x=3600，x=144。强调：是方砖面积成反比，不是边长。
例题3：比例尺综合应用题
在比例尺1∶4000000的地图上，量得甲乙两地距离5厘米，一辆车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，几小时到达？
师：先算实际距离，再根据路程、速度、时间关系解题，融合比例尺与行程问题。
【设计意图：选取高频典型例题，由易到难、分层精讲，手把手带学生分析比例关系、规范解题步骤，针对性点拨易错点，提升比例解题的综合能力，落实教学重点。】
（四）即时小练，查漏补缺
师：请同学们独立完成3道基础题，快速检验本节课知识掌握情况：
1. 判断：工作效率一定，工作总量和工作时间成（）比例；
2. 图上距离2cm，实际距离4km，比例尺是（）；
3. 用比例解题：修一段路，每天修20米，15天修完，每天修30米，几天修完？
学生完成后，同桌互查，教师公布答案，针对共性问题简要点拨，快速排查知识漏洞，巩固课堂所学。
【设计意图：通过简短针对性练习，即时巩固正反比例判断、比例尺计算、比例解题三大核心技能，帮助学生及时消化课堂内容，强化解题熟练度，为后续课堂综合练习筑牢基础。】
七、课堂练习（含参考答案+设计意图）
（一）课堂练习题
1.填空题：
（1）如果y=6x，那么x和y成（ ）比例；如果xy=18，那么x和y成（ ）比例；
（2）比例尺1∶200000，表示图上1厘米代表实际距离（ ）千米；
（3）在比例尺为1∶500000的地图上，量得两地距离8厘米，实际距离是（ ）千米。
2.判断题（对的打√，错的打×）：
（1）圆的周长与半径成正比例。（ ）
（2）比例尺的前项一定是1。（ ）
（3）总页数一定，已看页数和未看页数成反比例。（ ）
3.比例尺计算题：
一个零件实际长5mm，画在图纸上长10cm，这幅图纸的比例尺是多少？
4.正比例应用题：
小明买4支铅笔花了6元，买同样的铅笔12支，需要花多少钱？
5.反比例应用题：
一辆货车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达；返回时每小时行80千米，几小时能返回甲地？
（二）参考答案
1.（1）正，反；（2）2；（3）40
2.（1）√；（2）×；（3）×
3.10cm=100mm，比例尺=100∶5=20∶1
4.解：设需要花x元。6:4 = x:12，4x=72，x=18。答：需要花18元。
5.解：设x小时能返回。80x=60×4，80x=240，x=3。答：3小时能返回。
【设计意图：习题围绕本节课四大核心考点设计，题型丰富、梯度合理，涵盖填空、判断、计算、应用四大类，兼顾基础巩固、易错点辨析与综合应用。既能全面考查学生正反比例判断、比例尺计算、比例解题的掌握程度，又能排查概念混淆、单位换算、等量关系找错等问题，培养学生细致审题、规范解题、严谨验算的习惯，落实量感、模型意识、应用意识等核心素养，全面达成复习目标。】
八、课堂小结
师：这节课我们完成了比和比例板块的收尾复习，梳理了四大核心内容：一是分清正反比例，牢记“商一定成正比例，积一定成反比例”；二是掌握比例尺公式，注意单位统一、比例尺无单位；三是用比例解决问题，先判比例关系，再列比例式解题。
比和比例是小学数与代数的重点知识，大家课后要多复盘概念、多练易错题型，规范解题步骤，把正反比例判断、比例尺计算、比例解题的技巧吃透，为后续综合复习和升学备考筑牢基础。
九、课后作业布置
完成对应《同步练习》中《比和比例（2）——正比例、反比例、比例尺、用比例解决问题》课时习题，正反比例判断标注理由，比例尺计算规范单位换算，比例解题写清步骤、检验结果，标注错题并分析错误原因，扎实巩固本节课所学知识。
十、板书设计
比和比例（2）正反比例、比例尺、用比例解决问题
1.正反比例（核心判断）
正比例：两种量相关联，比值（商）一定，=k（一定）
反比例：两种量相关联，乘积一定，xy=k（一定）
2.比例尺
核心公式：比例尺=图上距离∶实际距离
公式变形：图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺
关键点：单位统一，比例尺不带单位
3.用比例解决问题
步骤：审题→判比例→设未知数→列比例→解比例→检验→作答
关键：正比看商定，反比看积定
4.易错提醒
比例尺单位不统一；混淆正反比例；比例解题找错等量关系(共31张PPT)
第六单元 整理与复习
第10课时 比和比例（2）
小学数学·六年级（下）·人教版
教学目标
1.理解正比例、反比例的意义，能正确判断两种量的比例关系；掌握比例尺的意义及相关计算，熟练运用比例知识解决实际问题。
2.通过对比辨析、例题精讲、实操训练，提升比例判断、比例尺计算、比例解题的综合能力。
3.体会比例知识的生活价值，养成细致审题、规范解题、严谨验算的习惯，激发数学应用兴趣。
教学重难点
1.教学重点
正、反比例的判断，比例尺的计算，用比例解决实际问题的步骤与方法。
2.教学难点
区分正、反比例关系，灵活运用比例尺公式计算，找准比例解题中的等量关系。
目 录
课堂导入
01
教学过程
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课堂导入
01
上节课我们复习了比和比例的意义、基本性质，还学会了解比例，大家已经掌握了比例的基础运算。那生活中两种相关联的量，比如路程一定时，速度和时间有什么关系？单价一定时，总价和数量又有什么关系？绘制地图时，图上的长度和实际距离又该怎么换算呢？
这些问题都藏着比例的应用知识，这节课我们就深入复习比和比例（2），吃透正比例、反比例、比例尺三大知识点，学会用比例解决各类实际问题，把比例知识真正用活、用好。
教学过程
02
（一）对比辨析，吃透正反比例的意义与判断
首先复习正比例和反比例，大家先思考：什么是正比例？什么是反比例？二者有什么相同点和不同点？前后桌四人一组讨论，一会请小组代表分享。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果它们的比值（商）一定，就是正比例关系，式子是y:x=k（一定）。
首先复习正比例和反比例，大家先思考：什么是正比例？什么是反比例？二者有什么相同点和不同点？前后桌四人一组讨论，一会请小组代表分享。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果它们的乘积一定，就是反比例关系，式子是xy=k（一定）。
判断依据：
正比例看“商一定”，
反比例看“积一定”，
相同点是都有两种相关联的量，一种量随另一种量变化；不同点是变化规律、定量不同。
判断练习：判断下列两种量成什么比例，并说明理由。
① 速度一定，路程和时间；
② 总价一定，单价和数量；
③ 正方形的边长和面积；
理由：因为路程 ÷ 时间 = 速度（一定），也就是路程和时间的比值是定值，所以路程和时间成正比例。
理由：因为单价 × 数量 = 总价（一定），也就是单价和数量的乘积是定值，所以单价和数量成反比例。
理由：正方形面积 ÷ 边长 = 边长（变化的量），比值不是定值；面积 × 边长 = 边长 （变化的量），乘积也不是定值，所以边长和面积不成比例。
判断练习：判断下列两种量成什么比例，并说明理由。
④ 工作总量一定，工作效率和工作时间。
理由：因为工作效率 × 工作时间 = 工作总量（一定），也就是工作效率和工作时间的乘积是定值，所以工作效率和工作时间成反比例。
（二）精讲公式，掌握比例尺的计算与应用
接下来复习比例尺，大家回忆：什么是比例尺？核心公式是什么？比例尺有哪些类型？
图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，核心公式是比例尺=图上距离∶实际距离。
接下来复习比例尺，大家回忆：什么是比例尺？核心公式是什么？比例尺有哪些类型？
比例尺分为数值比例尺和线段比例尺，比如1∶10000是数值比例尺，线段比例尺是用线段表示实际距离。
注意事项：
第一，计算时单位要统一，通常把实际距离化成厘米，再化简比例尺；
第二，比例尺是一个比，不带单位；
第三，公式变形：图上距离=实际距离×比例尺，实际距离=图上距离÷比例尺。
例题1：数值比例尺计算
一幅地图，图上距离4厘米表示实际距离2千米，求这幅地图的比例尺。
统一单位：2千米=200000厘米，
比例尺=4∶200000=1∶50000
答：求这幅地图的比例尺是1:50000。
例题2：求实际距离
在比例尺1∶50000的地图上，量得两地距离6厘米，实际距离是多少？
公式计算：实际距离=图上距离÷比例尺
6÷=300000厘米=3千米
答：实际距离是3千米。
练一练：
求图上距离（实际距离5千米，比例尺1∶200000）
求图上距离=实际距离×比例尺
5千米=500000厘米
500000×=2.5（厘米）
（三）规范步骤，学会用比例解决实际问题
用比例解决实际问题，核心是先判断两种量成正比例还是反比例，再根据比值一定或乘积一定列比例式，遵循“一审二判三设四列五解六验答”七步解题法。
例题1：正比例应用题
一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，5小时行驶多少千米？
分析：速度一定，路程和时间成正比例，比值（速度）相等。
解：设5小时行驶x千米。
180:3 = x:5 3x=900 x=300。
检验作答：速度60千米/小时，5小时行驶300千米，符合题意。
答：5小时行驶300千米
例题2：反比例应用题
一间教室，用边长3分米的方砖铺地，需要400块；如果改用边长5分米的方砖铺地，需要多少块？
分析：教室面积一定，每块方砖面积和块数成反比例，乘积（总面积）相等。
解：设需要x块。
(5×5)x = (3×3)×400，25x=3600，x=144。
强调：是方砖面积成反比，不是边长。
答：需要144块.
例题3：比例尺综合应用题
在比例尺1∶4000000的地图上，量得甲乙两地距离5厘米，一辆车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，几小时到达？
图上距离为 5 厘米，
因此实际距离为：5×4000000=20000000 厘米=200000 米=200 千米
200 ÷80=2.5（小时）
答：2.5小时到达。
（四）即时小练，查漏补缺
1. 判断：工作效率一定，工作总量和工作时间成（ ）比例；
2. 图上距离2cm，实际距离4km，比例尺是（ ）；
3. 用比例解题：修一段路，每天修20米，15天修完，每天修30米，几天修完？
正
1:200000
解：设每天修 30 米时，需要 x 天修完。
30x=20×15
30x=300
x=30
答：10 天修完。
课堂练习
03
1.填空题：
（1）如果y=6x，那么x和y成（ ）比例；如果xy=18，那么x和y成（ ）比例；
（2）比例尺1∶200000，表示图上1厘米代表实际距离（ ）千米；
（3）在比例尺为1∶500000的地图上，量得两地距离8厘米，实际距离是（ ）千米。
正
反
2
40
2.判断题（对的打√，错的打×）：
（1）圆的周长与半径成正比例。（ ）
（2）比例尺的前项一定是1。（ ）
（3）总页数一定，已看页数和未看页数成反比例。（ ）
×
√
×
3.比例尺计算题：
一个零件实际长5mm，画在图纸上长10cm，这幅图纸的比例尺是多少？
3.10cm=100mm，
比例尺=100∶5=20∶1
答：这幅图纸的比例尺是20∶1。
4. 小明买4支铅笔花了6元，买同样的铅笔12支，需要花多少钱？
解：设需要花x元。
6:4 = x:12
4x=72
x=18
答：需要花18元。
5.一辆货车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达；返回时每小时行80千米，几小时能返回甲地？
解：设x小时能返回。
80x=60×4
80x=240
x=3
答：3小时能返回。
课堂小结
04
1.一是分清正反比例，牢记“商一定成正比例，积一定成反比例”。
本节课你有哪些收获？
2.二是掌握比例尺公式，注意单位统一、比例尺无单位。
3.三是用比例解决问题，先判比例关系，再列比例式解题。
课程结束，谢谢参与！
第六单元 整理与复习

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