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2026年兰州市初中学业水平测试卷
数学（一）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最大的数是（　　）
A．0 B．﹣|﹣2| C．﹣（﹣2） D．
2．计算所得结果是（　　）
A． B． C．2 D．
3．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠EDC＝114°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（　　）
A．114° B．144° C．146° D．156°
4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A（﹣4，2），B（﹣6，0），D（﹣4，0），则点A的对应点C的坐标为（　　）
A．（﹣5，2） B．（﹣5，3） C． D．
5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　）
A．3 B． C． D．
6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1
7．已知A（4，a），B（6，b）是反比例函数的图象上的两点，则a，b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中S1，S2，S3，S4表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量菱形部件ABCD的尺寸．对角线AC、BD交于点O，若点E为边BC的中点，点B、C对应的刻度为1、6，则OE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P，Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t函数关系的图象是（　　）
A．B． C．D．
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12. 分解因式：x2﹣9y2＝　　 ．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
13. 甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测（单位：次/分钟），监测数据的平均值均为72次/分钟，心率波动的方差分别为S甲2＝1.3，S乙2＝1.7，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是 　　 ．（填“甲”或“乙”）
14. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为　　 ．
15. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝ 　　 ．
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：（x﹣2y）（2x+y）﹣3x（x﹣y）．
17．（5分）解分式方程：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（7分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（a，4）和点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接AO并延长交反比例函数图象于点C，求△ABC的面积．
20．（7分）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告：
测量对象 兰州白塔山塔高
测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神
测量工具 无人机、测角仪等
测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面50m的P点，测得白塔的顶端A的俯角为22°， 2．再将无人机沿水平方向飞行50m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为45°．
测量示意图
请根据以上测量数据，求白塔AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.4，cos22°≈0.9，tan22°≈0.4）．
21．（7分）问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如表：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理：
（1）请将表格中的调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） 　　 　　 　　 　　 　　
日销售量（盆） 　　 　　 　　 　　 　　
模型建立：
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用：
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
22．（7分）某校数智文化节中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究．
【初步感知】
（1）如图①，沿过点B的直线折叠正方形纸片，使得点C的对应点点E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点F，则DE＝ 　　 ；（结果保留根号）
【迁移运用】（2）如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合），EI交AB于点H；
①当点E为AD中点时，求△DEF的面积；
②当点E为AD上任意一点时（如图③）探究△AEH的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由．
23．（7分）数学文化是打开数学世界的钥匙，它不仅是严谨的逻辑与计算，更承载着人类探索未知的智慧与文明．从《九章算术》的智慧到欧拉公式的简洁之美，数学文化中蕴含的创新精神与人文价值，正等待着同学们去发现与传承．某校为营造“爱数学、懂文化”的校园氛围，开展“数学文化进校园”知识竞赛．以下是从八年级和九年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【数据收集与整理】
八年级学生竞赛成绩：85，86，88，89，90，90，90，90，92，93，95，98．
九年级学生竞赛成绩：
组别/分数 A：70≤x＜80 B：80≤x＜90 C：90≤x≤100
九年级 1 3 8
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90.5 a b 12.08
九年级 c d 94 e
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　　 ，b＝　　 ，d所在组别是C （填“A”或“B”或“C”）；
（2）若e＞12.08，则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的　　 年级；
（3）八年级共有600人，九年级共有900人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中两个年级一共有多少人获得优秀等级．
24．（8分）如图，⊙O经过△ABC的两个顶点A，B，连接OC交AB于点D，且OC⊥OB，AC＝CD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若，求tan∠OCA的值．
25．（8分）综合与实践
在几何学中，旋转是一种基本的图形变换，它让静态的图形展现出动态的魅力．一个图形绕固定点旋转，不仅改变了位置，更创造出新的视觉形态．如图（1），在矩形ABCD中，AB＝1，将边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AE，过点E作AE的垂线交直线BC于点F．
（1）若，求旋转角α的大小；
（2）若α＝45°，如图（2）所示，求点E到BC的距离；
（3）若，且点F，E，D三点共线，求四边形ABFE的面积．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，C为平面上一点，AB为⊙T上的一条弦．若点C绕AB的中点旋转α（0°＜α≤180°）与T重合，则称点C是弦AB关于⊙T的“α关联点”．已知⊙O的半径为2．
（1）如图，点A（2，0），B（0，2）．
①在点，，C3（1，2）中，弦AB关于⊙O的α关联点为C2 ，其中α＝　　 °；
②已知点D是⊙O劣弧AB上的一个动点，点C为弦AD关于⊙O的60°关联点，直接写出点C纵坐标yc的取值范围；
（2）已知MN为⊙O上的弦，且，⊙T经过点M和点P．若存在α（0°＜α＜90°）使得∠PMN＝90°+α，且在∠PMN的内部存在一个点既是MP关于⊙T的α关联点又是MN关于⊙O的180°﹣α关联点，直接写出⊙T半径r的取值范围．
2026年兰州市初中学业水平测试卷
数学（一）参考答案
C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. A 8. A 9. A 10. B 11. D
12. （x﹣3y）（x+3y）
13. 甲
14. 2或2或2
15. 22
16．解：（x﹣2y）（2x+y）﹣3x（x﹣y）
＝（2x2﹣3xy﹣2y2）+（﹣3x2+3xy）
＝（2x2﹣3x2）+（﹣3xy+3xy）+（﹣2y2）
＝﹣x2+0﹣2y2
＝﹣x2﹣2y2．
17．去分母得，x（x+3）﹣（x+2）（x+3）＝x+2，
去括号得，x2+3x﹣x2﹣5x﹣6＝x+2，
合并同类项得，﹣2x﹣6＝x+2，
移项得，﹣2x﹣x＝2+6，
合并同类项得，﹣3x＝8，
系数化为1得，x，
将x代入最简公分母（x+2）（x+3）≠0，
故x是原分式方程的解．
18．解：，
解不等式①，得：x，
解不等式②，得：x≤1，
∴原不等式组的解集为x≤1．
19．解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得m＝8，
∴反比例函数表达式为；
∵点A（a，4）在反比例函数的图象上，
∴，a＝2，∴A（2，4）；
∵点A（2，4）和点在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解得，∴一次函数表达式为；
（2）连接OB，设AB交x轴于点M，如图，
∵当y＝0时，，x＝﹣4，∴M（﹣4，0），
∴△AOB的面积＝△AOM的面积+△MOB的面积，
由双曲线的对称性知AO＝OC，
∴△AOB的面积＝△BOC的面积，∴△ABC的面积
20．解：先将无人机垂直上升至距水平地面50m的P点，测得白塔的顶端A的俯角为22°，
延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACP＝90°，如图：
∵∠AQC＝45°，∴∠CAQ＝45°，
∴AC＝QC，∵PQ＝50m，
∴，
∴AC≈33m，∴AB＝50﹣33＝17m，答：白塔AB的高度约为17m．
21．解：（1）按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
故答案为：18，20，22，26，30；54，50，46，38，30；
（2）由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）①设定价应为x元，
依题意，得：，
整理得：﹣2x2+120x﹣1750＝0，
解得：x1＝25，x2＝35，
∴定价为每盆25元或每盆35元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为w元，
依题意，得：2（x﹣30）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值为450元．
答：售价定为30元时，每天能够获得最大利润．
22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴BC＝DC＝8，∠C＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD，
由折叠性质得：BE＝BC＝8，
∴DE＝BD﹣BE，
故答案为：；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴AD＝DC＝8，∠D＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴DEAD＝4，
设DF＝a，∴CF＝DC﹣DF＝8﹣a，
由折叠性质得：EF＝CF＝8﹣a，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2，
∴（8﹣a）2＝42+a2，
解得：a＝3，
∵DF＝a＝3，∴△DEF的面积为：DE DF4×3＝6；
②△AEH的周长不发生变化，始终等于16，理由如下：
连接CE，CH，过点C作CM⊥EH于点M，如图3所示：
∴∠CME＝∠CMH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝9，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠A＝90°，
∴∠CME＝∠D＝90°，∠CME＝∠B＝90°，
由折叠性质得：EF＝CF，∠FEH＝∠BCD＝90°，
∴∠CMH＝∠FEH＝90°，∠FHC＝∠DCE，
∴CM∥EF，
∴∠MCE＝∠FHC＝∠DCE，
在△CME和△CDE中，，
∴△CME≌△CDE（AAS），
∴ME＝DE，CM＝CD＝CB，
∴ME+AE＝DE+AE＝AD＝8，
∵∠CME＝∠B＝90°，∴△CMH和△CBH都是直角三角形，
在Rt△CMH和Rt△CBH中，，
∴Rt△CMH≌Rt△CBH（HL），
∴MH＝BH，
∴AH+MH＝AH+BH＝AB＝8，
∴△AEH的周长为：AB+HE+AE＝AB+MH+ME+AE＝16．
23．解：（1）八年级学生竞赛成绩：85，86，88，89，90，90，90，90，92，93，95，98，中位数是第6、7个数的平均值，即a90；出现次数最多的数是90，故众数b＝90；
九年级学生竞赛成绩的中位数d所在组别是C．故答案为：90，90，C；
（2）∵八年级方差12.08，九年级方差e＞12.08，
∴八年级成绩更更稳；故答案为：八；
（3）∵八年级12个数据中不低于90分有8个，九年级12个数据中不低于90分有8个，
∴6009001000（人），答：此次竞赛中两个年级大约一共有1000人获得优秀等级．
24．（1）证明：连接OA，如图，∵OC⊥OB，
∴∠ODB+∠OBD＝90°，
∵∠ODB＝∠ADC，
∴∠ADC+∠OBD＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBD，∴∠ADC+∠OAB＝90°．
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴∠CAD+∠OAB＝90°，
即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，∵OA为⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴设OD＝a，则BDa．
∵OC⊥OB，
∴OB2a，
∴OA＝OB＝2a．
设CD＝AC＝x，则OC＝CD+OD＝x+a．
∵OA2+AC2＝OC2，
∴x2+（2a）2＝（x+a）2，
解得：xa．∴ACa．∴tan∠OCA．
25．解：（1）如图1，连接AF，
∵将边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AE，
∴AE＝AB．
∵EF⊥AE，四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠E＝90°．
在Rt△ABF与Rt△AEF中，，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴∠EAF＝∠BAF
∵，在Rt△ABF中，，
∴∠BAF＝30°，
∴∠EAF＝∠BAF＝30°，
∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝60°，即旋转角α＝60°；
（2）如图2，过点E作EH⊥BC，交BC于点H，延长HE，交AD于点L，
∵AD∥BC，
∴∠ALE＝90°．
∵α＝45°，四边形ABCD是矩形，
∴∠EAL＝45°．
由题意得：EA＝1，
∴，
∴，
故点E到BC的距离为；
（3）分两种情况：
①当0°＜α≤90°时，连接AF，如图3，
由（1）得Rt△ABF≌Rt△AEF，
∴BF＝EF．
∵AE⊥DF，点F，E，D三点共线，
∴∠AED＝90°．
又∵，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE2＝AD2﹣AE2＝5﹣1＝4，
∴DE＝2．
设BF＝EF＝x，则．
在Rt△DCF中，由勾股定理得：FC2+DC2＝DF2，即，
解得：，
∴．
∴；
②当90°＜α＜180°时，如图4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE2＝AD2﹣AE2＝5﹣1＝4，
∴DE＝2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠EDA＝∠F．
在Rt△AED与Rt△DCF中，
∴Rt△AED≌Rt△DCF（AAS）．
∴
．
综上所述，四边形ABFE的面积为或．
26．解：（1）①如图，设AB的中点为N，
∵A（2，0），B（0，2），∴N（1，1），∴，
∵，，C3（1，2），
∴，，NC3＝1，
∴弦AB关于⊙O的α关联点为C2，
∵A（2，0），B（0，2），∠AOB＝90°，
∴OA＝OB＝2，则△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵NC2∥OA，
∴∠C2NA＝∠BAO＝45°，
∴α＝∠C2NO＝90°+∠C2NA＝135°，
故答案为：C2，135；
②如图，N是AB的中点，E是AD上的中点，
连接OD，取OA的中点F（1，0），
∴，
∴E在⊙F的上运动，
i）当逆时针旋转时，先求C的最大值，将⊙F绕点O逆时针旋转60°得到⊙G，则当GC∥y轴时，C的纵坐标最大，
∴△OFG是等边三角形，
∴G（，），CG＝OG＝OF＝1，
∴C（，1），当N，E重合时，C的纵坐标取得最小值，
∵点C为弦AD关于⊙O的60°关联点，
∴△CEO是等边三角形，
又∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，则，
∴，
∵∠BOE＝45°，
∴∠COD＝15°，
又∵△OFG 是等边三角形，
∴∠GOF＝60°，
∴∠BOG＝30°，
∴∠COG＝45°，则△COG是等腰直角三角形，
过点G作GK∥y轴，过点C作CK⊥KG于点K，则∠OGK＝180°﹣∠BOG＝150°，
∴∠CGK＝∠OGK﹣∠OGC＝150°﹣90°＝60°，
在Rt△CKG中，，CK，
∴C（，）
∴；
ii）当顺时针旋转时，当N，E重合时，此时C点纵坐标最大，
此时，与逆时针得到的三角形关于直线ON对称，
∵直线ON的解析式为y＝x，
∴C（，）；
当E，A重合时，此时C点纵坐标最小，
∵△OCE为等边三角形，OE＝OA＝2，
∴C（1，），
∴yC；
综上所述：或yC；
（2）设C既是MP关于⊙T的α关联点又是MN关于⊙O的180°﹣α关联点，K是PM的中点，
①如图，当C逆时针旋转与点T重合时，
∵，设MN的中点L，
∴，OL，
∵点C是MN关于⊙O的180°﹣α关联点，
∴∠CLO＝180°﹣α，
∴CLM＝90°﹣α，
∵∠PMN＝90°+α，
∴CL∥PM，
∵C是MP关于⊙T的α关联点，
∴∠CKT＝α，CK＝TK，
∵∠TKM＝90°，
∴∠CKM＝90﹣α，
∴∠CKM+∠KML＝180°，
∴KC∥ML，
∴四边形KMLC是平行四边形，
∴KM＝CL＝OL，，
在Rt△TKM中，，
②当C1点逆时针旋转得到T时，如图，
∵，∠C1KT＝∠CKT＝α，CT1＝CT＝KCsinα，
∵，
∴，
∵0°＜α＜90°，KM＞0，∴，
在Rt△TKM 中，，
综上所述，当M在左侧时，，
③如图，作CL关于y轴对称的直线C2L，则当C2顺时针旋转180°﹣α与点T重合时，
∴，
∴，
在Rt△TKM中，，
∴r的最大值为，
④如图，当C3顺时针旋转180°﹣α与点T重合时，
同②可得所取得r的值要小于，综上所述，．

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