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北京市平谷区2025-2026学年度第二学期高三年级质量监控（一模）数学试题
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）已知双曲线的离心率是，则
（A） （B）3 （C） （D）
（4）若，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是
（A） （B） （C） （D）
（7）设，函数若，
．当存在最小值时，的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（8）在平面直角坐标系中，角以为始边，若.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则
（A）有最小值 （B）有最小值 （C）有最大值 （D）有最大值
（9）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用. 科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数. 经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失.按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为
（参考数据：，）
（A） （B） （C） （D）
（10）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)在的展开式中，的系数为_______________
(12)已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______________
(13)无人机表演团队，把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架飞机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则__________;数列所有项的和为___________.
（14）如图，在一个五面体中，其中面为矩形．，，平面，，且与平面的距离为，则该五面体的体积为_________________
（15）在平面内，点位于定直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4．
给出下列四个结论：
① 点过坐标原点；
②；
③ 若点在第一象限内，的最大值为；
④ 点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在△中，，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在，并求出边上的高线的长度．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）
如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，N为AB的中点，
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值；
（18）（本小题13分）
根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生米跑单项等级如下（单位：秒）：
米跑单项等级 高一男生 高一女生
优秀 及以下 及以下
良好 ~ ~
及格 ~ ~
不及格 及以上 及以上
从某校高一男生和女生中各随机抽取名同学，将其米跑测试成绩整理如下：
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）估计该校高一男生米跑单项及格及以上的概率；
（Ⅱ）从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计人中恰有2人米跑单项等级是优秀的概率；
（Ⅲ）通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有15%的男生达到良好及以上的成绩，又有25%的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的优秀率分别为，，判断，的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为右顶点为，左焦点为，
且．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：．
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，求函数极值点的个数；
（Ⅲ）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围.
（21）（本小题15分）
设数阵，其中．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，… ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．
（Ⅰ）若，写出经过变换后得到的数阵；
（Ⅱ）若，，求的值；
（Ⅲ）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）A （ 2 ）D （ 3 ）B （ 4 ）A （ 5 ）B
（ 6 ）C （ 7 ）B （ 8 ）B （ 9 ）D （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）2
（13）144 1073 （14） 40
（15）① ② ④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）在中，
因为,
所以由正弦定理可得 ……………2分
因为，
所以. ……………4分
所以.
在中，，
所以，
所以． ……………7分
（Ⅱ）选条件①：
由余弦定理，得，……………9分
即 ，解得：，……………11分
则边上的高线．……………13分
选择③：
因为，且为锐角，
则，……………9分
,……………11分
则边上的高线．……………13分
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）
法一：取的中点，连接.
由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，……………3分
又平面，平面，于是//平面.……………5分
法二：在三棱台中，N为AB的中点，//，所以，所以四边形为平行四边形，……………3分
//，平面，又平面，于是//平面 ……………5分
（Ⅱ）平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，平面，，，如图建立空间直角坐标系，……………7分
则，，，，，，，． ……………9分
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是．
……………11分
设直线与平面所成的角为，所以．
故直线与平面所成的角正弦值为． ……………14分
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）
样本中米跑单项等级获得优秀的男生人数为，获得良好的男生人数为，获得及格的男生人数为，所以估计该校高一男生米跑单项的及格及以上的概率； ……………3分
（Ⅱ）记人中恰有2人米跑单项等级是优秀的事件为
记“高一男生米跑单项等级是优秀”为事件；
“高一女生米跑单项等级是优秀”为事件；
其中是独立事件
由（Ⅰ）得；．……………5分
记2名米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为
……………6分
记2名米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为
……………7分
记2名米跑单项等级是优秀的人1名是男同学1名是女同学的事件为
……………8分
则． ……………10分
（Ⅲ）． ………13分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意由题意，（一个式子1分，共3分）
解得，.
所以椭圆E的方程为. ……………5分
（Ⅱ）依题意，，
因为点是椭圆上一点，可得，且，
直线的斜率，直线的方程为，
……………6分
令，得. ……………7分
直线的斜率为，直线的方程为，
令，得. ……………8分
法一：
因为，， ……………11分
， ……………14分
所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点，所以 ……………15分
法二：
点为线段的中点，，
所以， ……………10分
所以， ……………12分
，所以，所以。 ……………14分
所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点，所以 ……………15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以. ………………1分
所以，. ………………2分
曲线在点处的切线方程为，化简得.
……………4分
（Ⅱ）由，得， ……………5分
令，则.
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.……………6分
所以的最小值为. ………………7分
，，
又在单调递减，在单调递增，
故存在，使得，
所以，在区间上，在区间上.
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故是函数的极大值点. ………………8分
同理：存在，使得，
所以，在区间上，在区间上.
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故是函数的极小值点. ………………9分
综上：函数极值点有2个.
（Ⅲ）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或
等于.………………10分
由，得，
令，则.
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以的最小值为.………………11分
① 当时，，由（Ⅱ）得，所以.
所以在上单调递增，
所以的最小值为.
由，得，满足题意. ………………13分
② 当时，在上单调递减，
所以在上，不满足题意.………………14分
综上所述，实数的取值范围是. ………………15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）． ……………… 4分
（Ⅱ）经变换后得，
故． ……………… 9分
（Ⅲ）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为；含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为；同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为；不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为．
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为
．
若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为．
所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为
． ……………… 12分
同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为．
所以的所有可能取值的和为，
又因为，
所以的所有可能取值的和不超过． ……………… 15分

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