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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章 三角形及四边形
4.5 多边形与平行四边形
1．了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
2．理解平行四边形的概念；了解四边形的不稳定性．
3．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
1．多边形
（1）多边形内角和定理：n边形内角和等于____________．
（2）多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于________．
（3）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。平面镶嵌的条件：各个顶点处内角和恰好为________度；用一种相同的正多边形镶嵌可以是：________形，________形，________形．
2．平行四边形
（1）平行四边形的定义：两组对边分别________的四边形叫作平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①平行四边形的对边________．
②平行四边形的对角________．
③平行四边形的对角线________．
（3）平行四边形的判定：
①两组对边分别________的四边形叫作平行四边形．
②两组对边分别________的四边形是平行四边形；
③两组对角分别________的四边形是平行四边形；
④对角线______________的四边形是平行四边形．
⑤一组对边_______________的四边形是平行四边形．
3．两条平行线间的距离
（1）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫作两条平行线间的距离．
（2）夹在平行线间的平行线段________．
4．方法技巧
（1）根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角．
（2）牢记平行四边形的性质和判定，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四边形问题的速度和准确性．
■考点一 多边形
◇典例1：（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·陕西西安·三模）如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则的度数为_______．
2．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案．
(1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”）
(2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示）
(3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．
■考点二 平行四边形的判定及相关证明
◇典例2：（2025·山西·一模）如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形．
2．（2025·贵州毕节·一模）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
(1)若，求的度数；
(2)已知，求证：四边形是平行四边形．
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）如图，在正五边形中，的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏淮安·中考）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏镇江·中考）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
4．（2025·山东德州·中考）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽·模拟预测）如图，等边三角形中，，D、E是边上的两点，，P是线段上一动点，过点P分别作的平行线交于点M、N，连接、，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段扫过的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西·模拟预测）如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____．
7．（2025·甘肃兰州·一模）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
8．（2025·上海·一模）如图，将平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置，其中点、、分别落在点、、处，且点、、、在一直线上．如果点恰好是对角线的中点，那么的值______．
9．（2025·广东揭阳·三模）如图（1），用一条足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图（2）所示的正五边形，对角线与交于点．
(1)求的度数；
(2)判断四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由．
B 强化提升练
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若点，分别为，的中点，，求的度数．
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2026年中考一轮复习
4.5 多边形与平行四边形
三角形及四边形
第4章
“—”
1．了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
2．理解平行四边形的概念；了解四边形的不稳定性．
3．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
1．多边形
（1）多边形内角和定理：n边形内角和等于____________．
（2）多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于________．
（3）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。平面镶嵌的条件：各个顶点处内角和恰好为________度；用一种相同的正多边形镶嵌可以是：________形，________形，________形．
(n-2)×180°
360°
360
正三角
正方
正六边
2．平行四边形
（1）平行四边形的定义：两组对边分别________的四边形叫作平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①平行四边形的对边________．
②平行四边形的对角________．
③平行四边形的对角线________．
平行
相等
相等
互相平分
（3）平行四边形的判定：
①两组对边分别________的四边形叫作平行四边形．
②两组对边分别________的四边形是平行四边形；
③两组对角分别________的四边形是平行四边形；
④对角线______________的四边形是平行四边形．
⑤一组对边_______________的四边形是平行四边形．
平行
相等
相等
互相平分
平行且相等
3．两条平行线间的距离
（1）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫作两条平行线间的距离．
（2）夹在平行线间的平行线段________．
距离
相等
4．方法技巧
（1）根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角．
（2）牢记平行四边形的性质和判定，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四边形问题的速度和准确性．
A
D
（符合题意即可）
A 基础达标练
B
B
D
A
B
B 强化提升练
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章 三角形及四边形
4.5 多边形与平行四边形
1．了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．
2．理解平行四边形的概念；了解四边形的不稳定性．
3．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．
1．多边形
（1）多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2)×180°．
（2）多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°．
（3）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。平面镶嵌的条件：各个顶点处内角和恰好为360度；用一种相同的正多边形镶嵌可以是：正三角形，正方形，正六边形．
2．平行四边形
（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等．
②平行四边形的对角相等．
③平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形．
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
3．两条平行线间的距离
（1）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作两条平行线间的距离．
（2）夹在平行线间的平行线段相等．
4．方法技巧
（1）根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角．
（2）牢记平行四边形的性质和判定，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四边形问题的速度和准确性．
■考点一 多边形
◇典例1：（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出六边形的每个内角为，再结合度所对的直角边是斜边的一半，得，，运用勾股定理算出，，然后证明，代入数值得，，结合进行计算，即可作答．
【详解】解：过点作，延长交直线于一点，如图所示：
∵六边形是正六边形，
∴六边形的内角和，
则六边形的每个内角为，
∵
∴
则
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一个角的正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
◆变式训练
1．（2026·陕西西安·三模）如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则的度数为_______．
【答案】/112.5度
【分析】利用正八边形的性质求出其中一个内角的度数，利用等腰三角形的性质得到的度数，再作正八边形的外接圆O，连接，，由于是正八边形的一条对称轴，此时C，O，G三点共线，可得到是的直径，利用直径所对圆周角为直角和三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】解：由正八边形性质可得，，，
∴，
如图，作正八边形的外接圆O，连接，，
∵是正八边形的一条对称轴，
∴C，O，G三点共线，
∴是的直径，
∴，
∴．
2．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案．
(1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”）
(2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示）
(3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)能；
(2)；
(3)不存在，见解析．
【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可；
（2）根据图案的规律进行推理即可；
（3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可．
【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是，
观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件；
（2）第个图案有个正方形，即，
第个图案有个正方形，即，
第个图案有个正方形，即，
……
观察以上规律，第个图案有个正方形
（3）不存在，理由如下：
设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，
∵由（2）可得第个图案中有个正方形，
∵由图案观察，第个图案中有个正六边形，
即：，
解得：，
∴显然不符合题意，
∴不存在这样的图案．
■考点二 平行四边形的判定及相关证明
◇典例2：（2025·山西·一模）如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵将沿着的方向平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确．
故选：D
◆变式训练
1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形．
【答案】（符合题意即可）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形．
【详解】解：添加，
如图，连接，，，与交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
当添加时，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：．
2．（2025·贵州毕节·一模）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
(1)若，求的度数；
(2)已知，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)的度数为
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点．
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）如图，在正五边形中，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴；
故选B．
2．（2025·江苏淮安·中考）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．
延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：延长与直线交于点，
∵正六边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2025·江苏镇江·中考）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可．
【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，
则，且，
为等边三角形，
同理，皆为等边三角形，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
为等边三角形，的中点为，
，
，
同理，
则，
∵，
∴每转到12次后与方向重合，
，
∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，
又∵为等边三角形，
，
此时点在点的正北方．
故选：D．
4．（2025·山东德州·中考）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键．
根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可．
【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图：
与矩形周长相等，，
，
的面积是矩形面积的一半，，
，
由勾股定理得：，
点D的坐标为．
故选：A．
5．（2025·安徽·模拟预测）如图，等边三角形中，，D、E是边上的两点，，P是线段上一动点，过点P分别作的平行线交于点M、N，连接、，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段扫过的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理．过点A作，垂足为H，先证明四边形是平行四边形，在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是的中点，且到边的距离始终等于，点G的运动轨迹是的中位线，据此求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为H，
∵等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是的中点，且到边的距离始终等于，
∴点G的运动轨迹是的中位线，
∴点G的运动距离，
∴线段扫过的区域是底为2，高为的一个三角形，
∴线段扫过的区域面积．
故选：B．
6．（2025·陕西·模拟预测）如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____．
【答案】/48度
【分析】根据五边形内角和为，得到，结合是等边三角形，计算即可得解．
【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边，
∴，，
∴．
7．（2025·甘肃兰州·一模）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
【答案】
【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解．
【详解】解：∵点A的坐标为，，
∴C点与A点关于原点对称，
∴．
8．（2025·上海·一模）如图，将平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置，其中点、、分别落在点、、处，且点、、、在一直线上．如果点恰好是对角线的中点，那么的值______．
【答案】/
【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
设，根据平行四边形的性质和旋转性质得到，，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，进而利用等角对等边可得，证明，利用相似三角形的性质求得即可求解．
【详解】解：如图，设，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，为公共角，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
故答案为：．
9．（2025·广东揭阳·三模）如图（1），用一条足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图（2）所示的正五边形，对角线与交于点．
(1)求的度数；
(2)判断四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】本题考查正多边形的内角和及内角，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据正多边形的内角和以及正多边形每个内角都相等，求解即可．
（2）由矩形纸条的对边互相平行，可得四边形是平行四边形，在正五边中，，可得到四边形是菱形，即可解答．
【详解】（1）解：正五边形中，
又．
同理
答：的度数为
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
矩形纸条的对边互相平行．
，
四边形是平行四边形．
在正五边中，
∴四边形是菱形．
B 强化提升练
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若点，分别为，的中点，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等；
（2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定，中位线的性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
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