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江苏靖江市靖城中学2025-2026学年度第二学期阶段质量监测调研
九年级数学试题
学校：_____________ 班级：_____________ 姓名：______________ 评价：____________
一．单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．“小明家买彩票将获得500万元大奖”记作事件M，则事件M是（ ）．
A．必然事件 B．确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在点处看建筑物处的仰角为，向建筑物走近了米到达点处，在点处看点处的仰角为，则可以表示为（ ）．
A． B． C． D．
二．填空题
1．已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的极差是______．
2．《年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，年我国卫星导航与位置服务产业总产值达亿元；“亿”用科学记数法表示为______．
3．一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积为________
4．在实数范围内分解因式：＝______．
5．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则的值为______．
6．方程的两个根分别记作，，若，则______．
7．如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______．
8．一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
9．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班．
10．如图，是的外接圆，是的高，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，则的长为______．
三．解答题
1．计算与解不等式
(1)计算：；
(2)解不等式：．
2．某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序．
(1)第一个出场为男生的概率是______．
(2)用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率．
3．为了解某校七~九年级学生的视力情况，该校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析．
【收集数据】
（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取300名女生进行调查；
方案二：分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查；
方案三：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 ；
【整理数据】
（2）抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况频数表
组别 视力段 频数
A 15
B 90
C m
D 36
则 ；

【分析数据】
（3）兴趣小组在分析数据时发现，这次抽样调查的平均数和中位数是一样的．有同学就提出：在生活中知道一组数据的平均数，则这个平均数也就处于这组数据的中游水平．你认为他的说法对吗？请说明理由．
4．如图，在中，，点D，E在上，．
(1)求证：；
(2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
5．某校师生到离校处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达，分别求自行车与汽车的平均速度．
6．如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为i为，坝顶，坝高．求坝底的长．（结果精确到，参考数据：）
7．如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
8．一次函数的图象记作直线，与x轴、y轴分别交于点A，B．
(1)将直线绕点逆时针旋转后得到的直线记作，求直线对应的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中，画出直线，，结合图象填空：不等式的解集为______．
9．如图，在钝角三角形中，点在上方，是边上的高，是线段的中点，是延长线上一点，连接，．
(1)从①是线段的中点；②；③这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由；
你选择的条件是______，______；结论是______．（只要填写序号）
(2)在（）的条件下，若，探究与之间的数量关系，并证明；
(3)若，，连接，求的最小值．
10．已知二次函数（为常数，且）．
(1)若点在该函数图象上，求的值；
(2)判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知一次函数．
①若对于任意的，都有，求的值；
②当时，，求的取值范围．
试卷第 2 页，共 2 页
江苏靖江市靖城中学2025-2026学年度第二学期阶段质量监测调研
九年级数学试题
参考答案：
一．单选题
1．【答案】A
【解析】【解答】∵tan30°=,
∴A选项正确．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 小明家买彩票获得500万元大奖，这件事可能发生也可能不发生．
∴ 事件M符合随机事件的定义，是随机事件．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
由题意得，，
∴，
∴
故选：C．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：连接，，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与4更接近，
故选：C．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，，
，
．
二．填空题
1．【答案】
4
【解析】【解答】解：根据题意，这组数据为，，，，，其中最大值为，最小值为，
因此极差为．
2．【答案】
【解析】【解答】解：，
根据科学记数法的定义可得：．
3．【答案】
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径，高，
圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，
故答案为：．
4．【答案】
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得
故答案为：．
5．【答案】
【解析】【解答】∵把点向左平移3个单位得到点，
∴．
∴．
∴．
故答案是．
6．【答案】
【解析】【解答】解：∵方程的两个根分别记作，，，
∴
∵，
∴
∴
7．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
，，
，
，是的角平分线，，
，即点D到的距离是．
8．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
9．【答案】丙
【解析】【解答】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴设反比例函数表达式为，
则甲、乙、丙、丁，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示：
由图可知，
∴、乙、丙、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知合格人数，则：
①，即甲、丁两个班级合格人数相同；
②，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少；
③，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多；
综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数，
∴这四个班合格人数最多的是丙，
故答案为：丙．
10．【答案】
【解析】【解答】解：如图，作的直径，连接，，
，
是的高，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
故答案为：．
三．解答题
1．【答案】(1)；
(2)
【解析】【解答】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
．
2．【答案】(1)
(2)
【解析】【解答】（1）解：有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，
第一个出场为男生的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有种，
则前两个出场都是女生的概率是．
3．【答案】（1）方案二；（2）159；（3）不对，理由见解析
【解析】【解答】解：（1）因为分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查具有代表性，
所以抽取的样本具有代表性的方案是方案二，
故答案为：方案二．
（2），
故答案为：159．
（3）他的说法不对，理由如下：
因为平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，平均数容易受个别极端值影响；中位数不受个别偏大或数偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势，
所以他的说法不对．
4．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，即为所求作．
∵
∴
∵是的平分线
∴．
5．【答案】自行车的平均速度为，汽车的平均速度为
【解析】【解答】解：设自行车的平均速度为，依题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴汽车的平均速度为．
答：自行车的平均速度为，汽车的平均速度为．
6．【答案】15.7
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点C作于点F，
四边形是矩形，
米，米，
，背水坡的坡度为，
，米，
（米）．
7．【答案】(1)详见解析
(2)．
【解析】【解答】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线；
（2）解：如图，过点D作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．【答案】(1)
(2)作图见解析；
【解析】【解答】（1）解：当时，可得，
解得，
，
当时，，
，
点绕点逆时针旋转后得到点，
点绕点逆时针旋转后得到点，
设直线的表达式为，
把，代入可得，
，
解得，
所以直线的表达式为；
（2）解：根据上题可得直线经过，，直线经过，，作图如下：
联立方程，
解得，
根据图象可得时，，
∴不等式的解集为．
9．【答案】(1)条件：①③，结论：②；条件①②，结论③；条件②③，结论①；
(2)
(3)2
【解析】【解答】（1）解：条件：①③，结论：②
理由：连接，
∵是边上的高，，
∴，
∵是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴，，
即，
∵是中点，
∴由等腰三角形三线合一，得，命题成立；
条件①②，结论③，
∵是中点且，
∴是的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得 ，
又∵是中点，，
∴(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
∴，
∴以为圆心，为半径作圆，三点在圆上，且为直径，
根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，
∴，即，
条件②③，结论①，
连接，
∵，是中点，
∴(直角三角形斜边中线等于斜边的一半) ，
∵，是中点，
∴(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
则 ，
又∵，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得是的中点；
（2）解：数量关系：，
证明：由（）可知，
∵，
∴，
又，
，，
∴， ，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵，是中点，
∴是斜边的中线，故；
（3）证明：∵，，点在的外接圆弧上运动（定角对定边，轨迹为定圆弧），
由正弦定理，设外接圆半径为，则，
即：，
解得外接圆半径：，
圆心在的垂直平分线上，
是中点，
，
由勾股定理得，
点在上，的最小值为，
即最小值为.
10．【答案】(1)
(2)存在，
(3)①；②且
【解析】【解答】（1）解：将点代入，
得，
解得．
（2）解：二次函数的图象与x轴存在一固定的公共点，
令
即
∴
解得：或
∴当时，恒成立，
这个固定的公共点的坐标为
（3）解：①∵，
∴
∴
设
∵，抛物线开口向上，，
∴
∴
∴
②∵，即，
由①可得当时，
∵，抛物线开口向上，
当时
即，
∴
解得
要使当时，，
即，
∴
解得：
∵，又为一次函数一次项系数，
∴且
∴且
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