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2026年河南省郑州外国语学校高考数学模拟试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若含有个元素，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了预计以后每年资金年增长率与第一年相同四人决定从第一年开始，每年年底拿出万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过年，公司分红后的剩余资金不低于万元？年数取整数，参考数据：，
A. B. C. D.
4.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为( )
A. 第三项 B. 第四项 C. 第五项 D. 第五项或第六项
5.购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买个盲盒能集齐种玩偶的概率为( )
A. B. C. D.
6.若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量的分布列如下，则( )
A. B.
C. D.
10.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，则( )
A. B.
C. D.
11.棱长为的正方体中，动点满足，则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 四面体的体积为
C. 设直线与所成角为，则的最大值为
D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量满足且，则与所成夹角的余弦值为 ．
13.已知函数的极小值大于，则的取值范围为 ．
14.双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
人工智能技术简称技术已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市名中学教师，统计了他们一个月内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表．
年龄 是否喜欢使用技术 合计
是 否
不超过岁
超过岁
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关；
将频率视为概率，现从所抽取的名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过岁的概率．
附：，其中．
16.本小题分
记为等差数列的前项和已知且．
求的通项公式；
设函数，，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点．
证明：平面平面；
若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为，且以短轴为直径的圆与直线相切．
求的方程；
过点的直线交于，两点，直线，分别交轴于，两点，证明：
，，的横坐标成等差数列；
与的面积之比为定值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，讨论函数的单调性；
当时，函数，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：设等差数列的公差为，
由可知，化为，
由，可得，即，即有，
解得，，
则；
由可得，
当，时，，
当，时，成立，
所以，其导数为，
则，，
，
，
相减可得，
则．
17.解：证明：平面平面，平面平面，，且平面，
则平面，
因为平面，则，
又，，则，
因为，，平面，
则平面，
又平面，
故平面平面．
由平面，平面平面，平面，
则，
故F为的中点，取的中点，连接，，
则平面，因平面，则，
，，平面，
所以平面，
故可以为坐标原点，，所在直线为，轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，则，
故可取，
设与平面所成角为，
则．
由知，平面，因为平面，
则，即为直角三角形，
又也为直角三角形，
则三棱锥外接球的球心为线段的中点．
，即，平面，平面，
则平面，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半，
故，
而，
故．
18. 证明：当过点的直线斜率不存在时，
直线与椭圆只有个交点，舍去，
设直线的方程为，
设、，由，
消去整理得，
所以，解得，
，，
直线的方程为，令，得，
同理可得．
．
又因为，
．
所以，
所以，，的横坐标成等差数列；(ⅱ)由(ⅰ)知为，的中点，得，
所以，
所以与的面积之比为．

19.解：当时，，定义域为，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，，当时，，单调递增，显然不成立；
当时，由，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
，，故，，
，即，等价于对恒成立，
即对恒成立．令，，
令，，
则恒成立，在上单调递增．
由于，，使得，即，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，，
由式可知，，，
令，，又，，即在上为增函数，
，即，，，
，即实数的取值范围为．
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