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19.1 二次根式及其性质
第 1 课时 二次根式的概念
基础提优题
1. [2025 周口期中] 在式子 中,二次根式有 ( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2. 在 中, 的取值范围在数轴上表示为 ( )
3. 已知 ,则 的值为( )
A. -6 B. C. 6 D.
4. 若 ,则 的值是_____.
5. 若一个直角三角形的面积为 9, 它的两条直角边长度之比为 ，则这两条直角边的长度分别为_____.
6. 当 是怎样的实数时，下列式子有意义？
(1) ； (2) ； (3) .
综合应用题目
7. 已知点 的坐标满足 ,那么将点 先向左平移 4 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度后的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 若 ,则 , 的大小关系是 ( )
B. C. D.
9. 如图，若观测点的高度为 ， 观测者视线能达到的最远距离为 ,则 ，其中 是地球半径，约为 . 小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度 为 ,她观测到远处一艘船刚露出海平面,则 的值为_____.
10. 如果关于 的不等式组 的解集为 ，且式子 的值是整数，则符合条件的所有整数 的值的和是_____.
11. 已知实数 满足 .
(1)由式子 可以得出 的取值范围是什么？
(2)由(1)，你能将等式 2025 中的绝对值符号去掉吗
(3)由(2)，你能求出 的值吗
第 2 课时 二次根式的性质
基础提优题
1. [2025 安徽] 下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2. 当 时,化简 的值为 ( )
A. 2 B. C. D.
3. [2025 重庆长寿区期中] 已知实数 在数轴上的对应点如图,则化简 为 ( )
A. B. C. D.
4. 若 是整数，则满足条件的自然数 的和为_____.
5. 已知 是 的三边长,化简 的 结 果为_____.
6. 若 化简的结果为 ，则 的取值范围是_____.
7. 计算:
(1) ；
(2) ；
(3) ； (4) ；
(5) .
综合应用题
8. 若 是一个整数，则 的最小正整数的值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. [2025 盐城月考] 已知 ,则下列对 的表述中正确的是 ( )
A. 总是奇数
B. 总是偶数
C. 总是无理数
D. 可能是有理数也可能是无理数
10. 若对任何实数 ,不等式 都成立,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
11. [2025 南通模拟预测] 阅读材料: 由 ,可知 的算术平方根是 . 类似地,16- 的算术平方根是_____.
12. 已知 ,当 分别取 , 2025 时，所对应的 值的总和是_____.
13. 已知正实数 满足关系式 1,设 ，那么 与 5 的大小关系是_____.
14. 新趋势 跨学科 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期,其计算公式为 ,其中 表示周期 (单位: )， 表示摆长 (单位: ). 假如一台座钟钟摆的摆长为 取 )
(1)求钟摆摆动的周期.
(2)如果钟摆每摆动一个来回，座钟发出一次滴答声，那么在 内，该座钟大约发出了多少次滴答声
15. 观察下列等式:
第 1 个等式: ;
第 2 个等式: ;
第 3 个等式: .
(1)按照你所发现的规律，请你写出第 4 个等式: ;
(2)按照你所发现的规律，请你写出第 (n为正整数)个等式:_____ ；
(3)利用这一规律计算:
创新拓展题
16. 阅读下列材料.
若代数式 的值是 2,求 的取值范围.
解: ,
.
当 时, ,
,
解得 (舍去);
当 时， ， ，
,符合条件;
当 时, ,
,
解得 (舍去).
的取值范围是 .
(1)化简: _____；
(2)三角形的三边长分别为 ，化简
(3)若 ，求 的取值范围.
答案
19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
1. C 是二次根式; 当 时, -2)没有意义,不是二次根式; 不是二次根式, 的根指数是 3 , 不是二次根式, 求二次根式有 4 个.
2. A 由题意得 且 ，解得 且 .
3. D4.95.
6.(1)无论 为何实数， 都是非负数.
所以不论 取何实数, 总有意义.
(2)由 得 .
所以当 时, 有意义.
(3)由 且 得 ,解得 . 所以当 时, 有意义.
7. D 由题意得 ,即 ① 一 ② 得 ，与 联立得 解得 ,将点 先向左平移 4 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度后的坐标为 ,即 .
8. D , .
9.32 km
10. -3 解不等式 得 ,解不等式 得 不等式组的解集为 . 式子 的值是整数, 或 2 . 或 -2 . 由 得 或 2 . 即符合条件的所有整数 的和是 -3 .
11.(1)根据二次根式有意义的条件可得 0,解得 .
(2)由(1)知 ，
.
.
(3)由(2)易得 ，
.
第2课时 二次根式的性质
1. B 2. D
3. A 根据数轴可得, 原式
4. 50 有意义, ,即 .
又 是整数, 是自然数, 只能是 0 或 7 或 12 或 15 或 满足条件的自然数 的和为
5.2c 是 的三边长,
6.
7.(1)原式 .
(2)原式 .
(3)原式 .
(4)原式 .
(5)原式 .
8. C 是一个整数, 是一个完全平方数. 的最小正整数的值是 5 .
9. B 为两个连续奇数, 为奇数, 为偶数. 为偶数.
10. B ,由绝对值的几何意义可得, 表示的是数轴上表示数 的点到表示数 -1 和数 5 的两个点的距离之和, 当一 5 时, 有最小值,最小值为 ,此时 . 若对任何实数 ,不等式 都成立, 的最小值要大于或等于 a. .
11. 的算术平方根是 .
12. 2027 当 时, ; 当 时, ,即当 分别取 时, 的值均为 当 分别取 时,所对应的 值的总和是 .
13. 正实数 满足关系式 ,同理 ,即 .
14.(1) (s). 钟摆摆动的周期约为 .
(2) (次).
在 内,该座钟大约发出了 420 次滴答声.
15.( 1 )
(2)
(3)原式 .
16.(1)1
(2) 三角形的三边长分别为 ，
.
的取值范围是 .
原式
(3) ，
.
当 时, ,
.
(舍去);
当 时, ,
,符合条件;
当 时, ,
.
(舍去).
的取值范围为 .

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