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2025-2026学年河北省保定市博野中学创新班高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.点与点是直线：上的两个不同的点，则( )
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
5.如图，在长方体中，( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点，若直线：与线段相交，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在三棱柱中，为的中点，为侧面上的一点，且平面，若点的轨迹长度为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.已知直线：，动直线：，则下列结论正确的有( )
A. 存在实数，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点
C. 对任意的，与都不重合 D. 存在实数，使得与垂直
11.如图，已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当时，三棱锥的外接球的表面积为
C. 记点到直线的距离为，当时，则的最小值为
D. 当时，直线与直线垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数 ．
13.已知向量，若共面，则 ．
14.已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，则平面截正方体所得的截面的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个圆台形花盆盆口直径为，盆底直径为，盆壁长指圆台的母线长．
求这个圆台形花盆的体积；
现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费元，给这批万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？第二问中取
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，分别为，的中点，平面平面．
证明：平面；
证明：．
17.本小题分
已知直线经过点．
若原点到直线的距离为，求直线的方程；
若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程；
若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，并求此时的直线的方程，其中．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点．
证明：平面平面；
若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积．
19.本小题分
如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的余弦值的最大值．
参考答案
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15.解：根据题意可得圆台高为，
这个圆台形花盆的体积为；
根据及题意可得一个圆台的侧面积为，
这批万个花盆全部涂上油漆，预计花费为：元．
16.证明：因为在四棱锥中，，分别为，的中点，取的中点，连接，，
所以，且，，因为四边形是矩形，所以，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
证明：平面平面，，又在矩形中，，
且面，面，面，，由得，．
17.
18.

19.（1）证明：因为平面，四边形为正方形，
所以，，两两垂直，所以分别以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，所以平面，
则，，，，，，，，
设．
则，因为平面，
所以平面的法向量为，
因为，
因为平面，
所以平面；
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