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福建厦门市莲花中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段练习数学
学校：_____________ 班级：_____________ 姓名：______________ 评价：____________
一．单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定
6．小军旅行箱的密码是一个五位数，若他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点、、在二次函数的图像上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
1．因式分解____．
2．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．
3．若，则_________．
4．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为________．
5．已知中，，，则__________．
6．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________．
三．解答题
1．计算：．
2．如图，在中，于点D，于点C，交于点E．若，求证：．
3．先化简，再求值：，其中．
4．如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上分别找一点D、E，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长度．
5．已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．
(1)若在的同侧（如图①）求证：．
(2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
6．已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请证明：m，n至少有一个为奇数．
7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若点在抛物线上的点与点之间，连接，，，，当四边形的面积随的增大而减小时，求的取值范围．
8．在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中），进行拼图操作．
【探究一】甲同学将一张边长为8的正方形纸片按，的尺寸剪成4块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，按图2所示重新拼合．这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？甲同学给出如下证明：
如图2，可知，_____，_____．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
(1)将甲同学的证明补充完整：_____，_____；
(2)乙同学受到甲同学的启发，尝试用函数证明三点不共线，请带他完成证明；
(3)【探究二】丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠．在丙同学的操作中，求的值．（若有必要，可以自行画图，标注相关长度）
9．已知四边形内接于，为的直径，点是上一点（不与重合），连接相交于点，连接，且．
(1)若，求证：；
(2)如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．
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福建厦门市莲花中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段练习数学
参考答案：
一．单选题
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A．3.14不是无理数，不符合题意；
B．不是无理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D．不是无理数，不符合题意；
故选：C．
2．【答案】D
【解析】【解答】
解：由题意，得：“榫”的主视图为：
故选：D．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A．，故A选项错误，不符合题意；
B．，故B选项错误，不符合题意；
C．，故C选项正确，符合题意；
D．，故D选项错误，不符合题意．
故选C．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：，
系数化为1得，，
在数轴上表示为：
故选：D．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：把代入，
则，
∴此反比例函数的图象在一，三象限，
故选：B．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：末位数字可能是0到9，共10种等可能结果，其中正确的只有1种，
所以小军能一次打开旅行箱的概率是，
故选：A．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，
∴，
故选：A
9．【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F,如图所示：
∵的距离为1，的距离为4
∴AE=4 AH=1 ED=BE=3
又∵Rt△ABC ∠ACB=90°°
∴° °
∴
又 AC=BC °
∴
∴EC=BF=3
∴AC=
又∵
∴
∴AD=
10．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
∵为抛物线的顶点，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵，
∴当点和在直线的左侧时，，解得；
当点和在直线的两侧，，解得；且点和在两侧应加上在两侧的条件，即在两侧最终解得；
综上所述，的范围为．
故选：．
二．填空题
1．【答案】
【解析】【解答】解：．
2．【答案】36
【解析】【解答】解：，是等腰三角形，
度，
故答案为：36．
3．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．【答案】
【解析】【解答】解：点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，
，
，
，
，
故答案为：．
5．【答案】/29度
【解析】【解答】解：在中，，，
．
6．【答案】
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分，
∴
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故答案为：．
三．解答题
1．【答案】
【解析】【解答】解：
．
2．【答案】见解析
【解析】【解答】证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
3．【答案】，
【解析】【解答】解：
，
当时，
原式．
4．【答案】(1)见解析
(2)3
【解析】【解答】（1）如图：按照角平分线的作法作出射线平分，交于点，以A点为圆心，为半径，画弧交与E，连接，即为等边三角形．
（2）平分，，
，
，
即为等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
．
5．【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【解析】【解答】（1）证明：于D，于E，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
即；
（2）解：，
于D，于E，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
即．
6．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】【解答】（1）解：因为，，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，即；
（2）解：假设，没有一个奇数，即，都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，
所以为偶数，
这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，
所以，至少有一个为奇数．
7．【答案】(1)
(2)
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴，，
∴，
对，
令，
则，
解得，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
∵，
∴当时，
∵点在抛物线上的点与点之间，
∴，
∴，
∴的取值范围是．
8．【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【解析】【解答】（1）解：根据题意得到：，
；
（2）证明：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，
设的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点不在直线上，
∴、、三点不共线；
（3）解：如图：
根据题意得：矩形的面积等于正方形的面积，
由题意可得，，，
∴矩形边长，
∴，
整理得，
解得，
∵，为正数，
∴，
∴．
9．【答案】(1)见解析
(2)①；②
【解析】【解答】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：①由（1）得，，
四点共圆，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，，
，
在中，，
，
，即，
，
，
，
的长为；
②，，
，
，
，
由①得，，，
设，则，
，，
，
当时，有最大值，即有最大值，最大值为，
的最大值为．
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