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九年级第二学期数学科第一次阶段测试(2026.03)
满分 120分，考试用时 120分钟
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
）
1．2025年全国残运会的吉祥物“小太阳”受到广泛关注，其设计灵感源于对生命力量的致敬．某家纪念品商店售出
的“小太阳”玩偶数量约为 350万件．将 350万件用科学记数法表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．万绿湖是广东省最大的湖泊，位于广东省河源市，这个被誉为珠三角“后花园”的湖泊，总面积达 平方公里，
总蓄水量 亿立方米，是华南地区最大的生态旅游名胜．数据 亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则代数式 （ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若某个函数的图象关于原点对称，则称这个函数为奇函数．据此判断下列 y关于 x的函
数中，奇函数有（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法正确的是( )
A．若 ，且 ， 都大于 0小于 5，则
B．抛物线 与 轴只有 1个交点
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C．若两个锐角相等，则它们是对顶角
D．等边三角形是中心对称图形
7．如图，有一块三角形木料 ， ， ， ，工人师傅准备将其加工成如图所示的矩
形 ，且点 在 上， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 在 轴上， ，且 ，则线段 长的最
大值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．
9．某校为提高学生的学习积极性举行了趣味知识抢答比赛，现有语文趣味题 3道，数学趣味题 2道，其他学科综
合趣味题 3道，若小丹从中随机选择一道回答，则选中数学趣味题的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，化妆镜由镜面和镜柱组成，其中镜面是以 为直径的 ，镜柱为 ，高约 的橡皮 与镜子
在同一水平上竖立，旋转镜面至 ，若 A，B，C三点共线， ，此时测得 ，此时 A
点到桌面的距离为（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 5 小体，每小题 3 分，共 15 分）
11．方程 的解是______．
12．已知圆锥的底面半径为 7，高为 24，则它侧面展开图的面积是________．
13．不等式组 的最小整数解是___________．
14．在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移 2个单位，再向下平移 5个单位，所得到的抛物线的
解析式是________________
15．如图，在 中， ， ， ， ，则 ________．
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分
16．已知 是关于 x的一元二次方程 的一个根，求代数式 的值．
17．如图，在 中， ，点 O在 边上， 与 相切于点 D，与 相交于 A，E两点，连接
．
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(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
18．抛物线 的部分图象如图所示．
(1)求 b、c的值；
(2)已知点 ，点 ，线段 与抛物线有交点吗？为什么？
四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分
19．如图是边长为 1的正方形网格， 的顶点均在格点上，在该网格中画出 （顶点均在格点上），使
（相似比 ），并求出相似比．
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20．某校组织全校学生参加了“解放思想、创新求变，向海图强、开放发展”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机
抽样调查了七、八年级各 10名学生的成绩 （单位：分），过程如下：
【收集数据】八年级 10名学生竞赛成绩：75，84，88，98，88，92，88，92，95，100．
七年级 10名学生竞赛成绩 在 范围的是：88，87，87．
【整理数据】
年级
八年级 1 1 m 2 3
七年级 1 2 3 1 3
【分析数据】
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 90 90 47
七年级 90 87 50.2
根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空： ______， ______， ______．
(2)该校七年级学生有 800人，八年级学生有 1000人，假设七、八年级学生全部参加此次竞赛，请估计两个年级成
绩不少于 90分的学生总人数．
(3)根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
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21．广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化．如图 1是某地铁出入口，有步梯和电梯两种由地
下层通往地面层的出入方式．其截面如图 2所示， 是由地下直通地面的电梯， ， ， ， ， 是步
梯， ， ， 的倾角相同， ， 与地面平行．已知电梯 全长 30米，倾角 为 ，
米．
(1)求地面层与地下层的垂直高度 ；
(2)求步梯 的倾角 的正切值和步梯通道的全长．参考数据： ， ， ．
五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分。
22．（1）问题探究：如图 1，在正方形 ，点 分别在边 上， 于点 ，点 ， 分别在
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边 上， ．
（1）①判断 与 的数量关系： ______ ；
②推断： 的值为：_______；（无需证明）
（2）类比探究：如图 2，在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，得
到四边形 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图 3，四边形 中， ， ， ， ，点 分
别在边 上，求 的值．
23．在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C．
(1)求 A，B，C三点的坐标；
(2)如图 1，连接 ，点 E是第四象限内抛物线上的动点，过点 E作 于点 F， 轴交直线 于点 G
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，求 面积的最大值；
(3)如图 2，点M在线段 上（点M不与点 O重合），点M、N关于原点对称，射线 分别与抛物线交于 P、
Q两点，连接 ，若 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的值．
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《九年级第二学期数学科第一次阶段测试(2026.03)》参考答案
1-15 题每道题 3分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A C B C B B B
11．
12．
13．
14． （或 ）
15．
16（7分）．
解：原式
∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
17．（1）（3分）证明：∵ 是 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）（4分）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
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∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，根据勾股定理，得
，
解得 ，
所以 的半径是 7.5．
18．（1）（3分）解：由函数的图象可知，抛物线 过点 和 ，
将 和 代入 ，
得： ，
解得： ， ；
（2）（4分）解：由（1）得：
当 时， ，
∴ 在抛物线的上方部分，
当 时， ，
∴ 在抛物线的下方部分，如图，
∴线段 与抛物线有交点．
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19．（9分）解：如图， 即为所求，
由网格知： ， ， ， ， ，
，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 即 ，
相似比为
20．（1）（3分）解： ，
八年级 10名学生竞赛成绩中 出现了 次，出现次数最多，
众数 ，
七年级 10名学生竞赛成绩中，排在第五、六位的是 ，
中位数 ，
故答案为： ；
（2）（3分）解：根据题意得 （人）．
答：估计两个年级成绩不少于 90分的学生总人数为 ；
（3）（3分）解：根据以上数据，我认为该校八年级的学生知识竞赛成绩更好．
理由：八年级的众数、中位数高于七年级，说明八年级的学生知识竞赛成绩更好．
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21.（1）（2分）解：根据题意，得 （米），
答：地面层与地下层的垂直高度 约为 18米．
（2）（7分）解：延长 交 于点 M，延长 交 于点 N，
∵ ， ， 的倾角相同， ， 与地面平行．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 ，四边形 都是平行四边形，
∴ ，
∵电梯 全长 30米，倾角 为 ， 米．
∴ （米），
（米），
（米），
∴ （米），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴步梯通道的全长为 （米）．
22．解：（1）（3分）①∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：=，1；
（2）（4分）作 ，
由折叠性质知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）（6分）作 ，连接 ，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， （舍去），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
23．（1）（2分）解：令 ，则 ；
令 ，则 ，解得 ；
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∴ ；
（2）（5分）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 的面积最大；
当 时， 有最大值 ， 的面积有最大值 ；
（3）（7分）解：设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
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联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ，
同理可求直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
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