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安徽省淮北市2025-2026学年九年级下学期数学三月份学情检测卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .(单选)下列算式中正确的有（ ）．
；；；．
A.个 B.个 C.个 D.个
2 .(单选) 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的正方体最多为（ ）．
A.个 B.个 C.个 D.个
3 .(单选)下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
4 .(单选)据年月日《天津日报》报道，天津市组织开展了第届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过只．将数据用科学记数法表示应为（ ）．
A. B. C. D.
5 .(单选)下列说法正确的是（ ）．
A.过一点有且只有一条直线与这条直线平行 B.相等的角是对顶角
C.不相交的两条直线叫做平行线 D.两直线平行，同位角相等
6 .(单选)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）．
A. B.
C. D.
7 .(单选)已知圆锥的母线长为，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为，则该圆锥的底面半径是（ ）．
A. B. C. D.
8 .(单选)若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则满足的条件一定是（ ）．
A. B.
C.或 D.
9 .(单选)将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（ ）．
A. B. C. D.
10 .(单选)如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ）．
A.保持不变 B.逐渐增加 C.先增加再减小 D.先减小再增加
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11 .若，且，是两个连续整数，则的值为 ．
12 .小天想要计算一组数据,,,,,的方差 ,在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去,得到一组新数据,,,,,,记这组新数据的方差为,则 (填“”,“"或"")
13 .如图，的边平行于轴，，的延长线过原点，且．反比例函数的图象经过点，连接．若的面积是， ．
14 .抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．
( 1 )当是等腰直角三角形时，点的坐标为 ．
( 2 )当是直角三角形时，的值为 ．
三.（本题共16分）
15 .计算：．
16 .某厂家接到定制套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为万元与万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
四.（本题共16分）
17 .实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．
( 1 )画出绕点顺时针旋转后的．
( 2 )点是的中点，在（1）的条件下，的对应点的坐标为 ．
( 3 )以点为位似中心，相似比为，在轴的上方画出放大后的．
18 .我们定义非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则，如：，，，．
试解决下列问题：
( 1 )填空：
① ．（其中为圆周率）
② 若，求的范围．
( 2 )若不等式组的整数解恰有个，求的范围．
( 3 )求满足的所有非负实数的值．
五.（本题共20分）
19 . 综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图是某折叠式靠背椅的实物图，图是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应、、和，椅腿，可绕连接点转动，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状 保 持 不 变 ．此时椅面和靠背平行．
素材2 图是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从 固 定 角 变为 可 调 节 角 ，在原来的基础上增加个卡档，在椅面下点与点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图是舒适档， 椅 面 倾 角 为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角． 靠 背 倾 角 为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角． 档位参数测量数据舒适档靠背倾角 椅面倾角 工作档靠背倾角 椅面倾角
( 1 )根据素材，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得，，延长，与地面的夹角为，求 ．
( 2 )根据素材，，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由．
( 3 )根据素材，，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿与地面的夹角始终为．
① 请用表示舒适档时靠背与椅腿的夹角 ．
② 求从舒适档调整为工作档过程中，靠背需要转过多少度？请说明理由．
20 .如图，是直径，点是上一点，．点为延长线上一点，且是的切线．
( 1 )求证：．
( 2 )过点作交于点，的延长线交于点，若的直径为，求线段的长．
六.（本题共12分）
21 .某学校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼．返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
根据上述信息，回答下列问题：
( 1 )在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ．
( 2 ) ， ．
( 3 )补全频数分布直方图．
( 4 )如果该校共有学生人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于分钟”的学生大约有多少人？
七.（本题共12分）
22 .已知抛物线（，为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点．
( 1 )求该抛物线的解析式．
( 2 )若是该抛物线上一点，
① 当时，求点的坐标．
② 当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标．
八.（本题共14分）
23. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，．
（1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长；
（2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接．
①求证：；
②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由．
1 、【答案】 B
【解析】 应为，原式错误．
，原式正确．
，原式正确．
应为，原式错误．
∴正确的有个．
故选．
2 、【答案】 C
【解析】 此答案为生成
3 、【答案】 C
【解析】 A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项符合题意；
D．，故该选项不符合题意；
故选：．
4 、【答案】 C
【解析】 ．
故选 C．
5 、【答案】 D
【解析】 选项：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误；
选项：相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，故原说法错误；
选项：缺少“同一平面内”的条件，异面直线也不相交但不平行，故原说法错误；
选项：是平行线的性质定理，故原说法正确；
故选：．
6 、【答案】 B
【解析】 ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将两个不等式的解集在同一条数轴上表示出来如下：
故选．
7 、【答案】 C
【解析】 设底面圆的半径是，，
解得，
故选：．
8 、【答案】 D
【解析】 ∵，，
∴抛物线的开口向上，当时，，
∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限，
∴抛物线与轴有两个交点，，
∴，，
∴．
故选．
9 、【答案】 A
【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
根据题意列出表格如下：
最 美 济 南
最 （最，美） （最，济） （最，南）
美 （美，最） （美，济） （美，南）
济 （济，最） （济，美） （济，南）
南 （南，最） （南，美） （南，济）
由表可知，一共有种情况，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的有种情况，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率，
故选：．
10 、【答案】 D
【解析】 、分别为和的中点，
，
的长度先减小再增加，
的长度先减小再增加．
故选：．
11 、【答案】
【解析】 ∵，
又∵
∴，，
∴．
故答案为：．
12 、【答案】
【解析】 ∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变；
∴；
故答案为：.
13 、【答案】
【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，相似三角形的判定与性质．延长交轴于点，设，则点，进而得，根据，平行于轴，得，再证，得，然后根据的面积是，得，即，由此解出即可．
延长交轴于点，如图所示：
平行于轴，，
轴，
设，
反比例函数的图象经过点，
点的坐标为，
，
，
，
平行于轴，
，
，
，
，
，
平行于轴，
，
，
，
的面积是，
，
即，
解得：．
故答案为：．
14 、【答案】 (1)
(2)
【解析】 (1)当是等腰直角三角形时，
，
，
，
，
在第四象限，
，
对称轴为，
点坐标为．
(2)设，
是直角三角形，，，
，
，
，
解得：，
在负半轴，
，
，
，
，
．
15 、【答案】
【解析】
．
16 、【答案】 选择乙流水线成本较小．理由见解析．
【解析】 设甲流水线每天加工套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，
则，解得：或，
经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去，
则乙流水线每天加工套防护服，
所以甲需要（天），乙需要（天），
因为（万元），（万元），
所以甲、乙两条流水线的生产成本分别为万元和万元．
所以选择乙流水线成本较小．
17 、【答案】 (1)见解析
(2)
(3)见解析
【解析】 (1)如图，即为所求．
(2)点是的中点，
点是的中点，
根据作图可知：，，
点的坐标为．
(3)如图，即为所求．
18 、【答案】 (1)①
②．
(2)、、，．
(3)或．
【解析】 (1)①，
所以．
②，
．
(2)，
解不等式①得，
解不等式②得．
∵原不等式组恰有个整数解，即、、，
∴．
∵是整数，
∴．
由题意得，
∴．
(3)（为整数）变形得，
由题意得，
解得，
即，
．
∵为整数，
∴或．
把或代入中，
∴或．
19 、【答案】 (1)
(2)，理由见解析
(3)①
②靠背需要转过度，理由见解析
【解析】 (1)，，
，
，，
，
故答案为：．
(2)，理由如下：
由题意，，，
如图，过作，则，
，，
，
．
(3)①如图，，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②
工作档时如图，已知，，，，
，
，
，
，
，
，
从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过度．
20 、【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
【解析】 (1)连接，如图，
，，
，
．
是的切线，是圆的半径，
．
，
，
．
(2)，
．
．
．
的直径为，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
21 、【答案】 (1)
(2)
(3)画图见解析．
(4)人．
【解析】 (1)（人），即样本容量为，
故答案为：．
(2)，即，
．即，
故答案为：，．
(3)（人），补全条形统计图如图所示：
(4)（人），
答：锻炼的时长不少于分钟”学生大约有人．
22 、【答案】 (1)．
(2)①点的坐标为或或或．
②点的坐标为．
【解析】 (1)抛物线与轴相交于，两点，
，
该抛物线的解析式为．
(2)①当时，，
，
，，
，
，
设点的纵坐标为，则，
，
，
，
点的纵坐标为或，
把代入得，，
解得，，
点的坐标为或；
把代入得，，
解得，，
点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
②如图，过点作轴于点，交于点，
设点，直线的函数解析式为，
把、代入得，
，
解得，
直线的函数解析式为，
把代入得，，
点，
，
，
，
当时，取最大值，
点的坐标为．
23.【答案】（1）
（2）详见解析；为等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出，，证明，得出，结合正方形的性质可判断是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解；
（2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解；
②（方法一）作交于点M，交于点N．根据三线合一的性质得出M为的中点．可证，根据平行线分线段成比例判断出N是的中点，根据三角形中位线定理得出．根据证明，得出，则E为的中点．结合，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出．同理可证，得出，即可得出结论；
（方法二）设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D，
∴，，，
由垂直平分线的性质知，，，
又，
∴，
∴．
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①证明：由题意知，，
∴，．
∴
，
∴．
②解：是等腰直角三角形．
理由如下：
（方法一）作交于点M，交于点N．
∵，
∴M为的中点．
又，
∴，
∴，
∴N是的中点，
∴是的中位线，．
∵，，且，
∴，
∴，
即E为的中点．
又，
∴，
∴．
同理可证，
∴．
∴是等腰直角三角形．
（方法二）设，则．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴，
又，，
∴．
∴，．
由①知，
∴．
又，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．

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