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2026年安徽省合肥市长丰县九年级下学期三月份数学学情检测
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2022﹣1的倒数是（　　）
A． B． C．2022 D．﹣2022
2．2025年，神舟二十号载人飞船执行空间任务期间，某新型科学实验装置的搭载总质量达78000多千克，将78000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，该几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
6．如图，是的内接三角形，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
9．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（ ）．
A．5 B．10 C．15 D．20
10．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．计算：___________．
12．如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________．
13．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为，若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为______．
14．如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是______；（2）的周长是______．
三.（本题共16分）
15．解方程：．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上．
(1)以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧；
(2)在（1）的条件下，写出点的坐标．
四.（本题共16分）
17．某商场销售一种商品，进价为每件24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每件36元，每月可销售60件．市场调查发现：若售价每降价2元，则每月的销量将增加20件，设每件商品降价x元，每月的销量为y件．
(1)写出y与x中间的函数关系式；
(2)如何定价，才能使每月销售利润最大？最大利润是多少元？
18．全世界每年都有大量的土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已成为一项十分紧迫的任务．某地区沙漠原有面积是100万平方千米，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续3年的观察，并将每年年底的观察结果记录如下表：
观察时间 该地区沙漠面积(万平方千米)
第一年年底
第二年年底
第三年年底
预计该地区沙漠的面积将继续按此趋势扩大．
(1)如果不采取措施，那么到第m年年底，该地区沙漠面积将变为多少万平方千米？
(2)如果第5年后采取措施，每年改造0.8万平方千米沙漠(沙漠面积的扩大趋势不变)，那么到第n年年底该地区沙漠的面积为多少万平方千米？
(3)在（2）的条件下，第90年年底，该地区沙漠面积占原有沙漠面积的多少？
五.（本题共20分）
19．如图1是水平放置的手机支架，图2为其平面示意图，已知，，，，求手机支撑点到水平面的距离．（精确到）（参考数据：，，，，）
20．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F．
(1)当，时，求的度数．
(2)若，，且．请用含有，的代数式表示的大小．
六.（本题共12分）
21．实验中学团支部发起了以“完善自我，服务社会，关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查数据绘制成不完整的统计图如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数频数分布直方图
被抽取学生参加志愿活动的次数扇形统计图
(1)补全频数分布直方图，这组数据的中位数是______次，众数是______次；
(2)求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数；
(3)若该校九年级共有800名学生，请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数．
七.（本题共12分）
22．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒1单位长度的速度向终点A运动，以点P为旋转中心，将线段顺时针旋转90°，得到线段，连接，设与重合部分的面积为，点P运动时间为秒（）．

(1) ；
(2)当点落在上时，求的值；
(3)点运动过程中，求与的关系式；
(4)当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，直接写出此时的值．
八.（本题共14分）
23．已知二次函数与的图象开口朝上．
(1)当a＝1时，讨论函数的增减性；
(2)若与的图象有两个交点为A、B．请求出这两个交点的横坐标；
(3)记与的最小值分别为m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求的值．
2026年安徽省合肥市长丰县九年级下学期三月份数学学情检测答案
1．C
【分析】先根据负整数指数幂的运算法则求出2022﹣1的值，然后再求出它的倒数即可．
【详解】解：∵2022﹣1，
∴2022﹣1的倒数是：2022，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题关键．倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．
2．C
【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式．
利用科学记数法的表示形式进行表示即可，科学记数法表示形式为，其中 ，为整数．
【详解】解： ，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了左视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【详解】解：该几何体的左视图如选项D所示，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可．
【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意；
B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意；
C．，选项运算正确，符合题意；
D．，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
5．D
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即符合题意．
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故本选项不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解．
【详解】解∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论．
【详解】解：一次函数的图象经过，两点，
，
，
，
，
，
即．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题．
【详解】解：联立，得到，
，
设方程的两个根为，，
，，
，
，
，
直线与轴交于点，
，
．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，证明，求出的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可．
【详解】解：延长至点，使，连接，则，
∵为的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，，
∴，即，
，即；
∵等腰和等腰，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
10．B
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【详解】A.不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B.是正比例函数，故本选项符合题意；
C.不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D.不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，解题的关键是熟记正比例函数的定义，形如的函数为正比例函数．
11．
【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据负整数指数幂的法则化简，再代入特殊角的三角函数值，最后利用实数的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键．
先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，连接，设圆的半径为，
∵是的内切圆，，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∵
，
即，
解得：．
故答案为：．
13．0或
【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，
整理得，，有两个相等的根，
，
整理得，，
对称轴为直线，此时的最小值为；
根据题意需要分类讨论：
①，
；
②，无解；
③，
或（舍去）．
综上，的值为0或．
故答案为：0或．
14．
【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作，
∵平分，则到的距离相等，
设到的距离为，到的距离为，
∴，
∴；
故答案为：．
∵平分，
∴，，
又∵
∴
∴，
∵
设
∴
∴
∴
∴
∴
由（1）可得
设，则，，则
∵，，
∴
∵
∴
∵，
∴，
又
∴
∴
∴
解得：
∴的周长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键．
确定，，，计算根的判别式，采用求根公式法解答即可．
【详解】解：
，，，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)点的坐标为
【分析】本题考查了位似变换，点的坐标．熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
（1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件；
（2）根据坐标系中点的位置，直接写出点点的即可．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：由图可得点点的坐标为．
17．(1)
(2)当售价定为33元时，利润最大，最大利润为810元
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售20箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润（售价成本）销售量列出函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）解：根据题意，得：，
y与x中间的函数关系式为：；
（2）解：设所获利润为，
则
，
函数开口向下，有最大值，
当时，取得最大值，最大值为810，
此时定价为元，
答：当售价定为33元时，利润最大，最大利润为810元．
18．(1)万平方千米；
(2)万平方千米；
(3)第90年年底，该地区沙漠面积占原有沙漠面积的；
【分析】（1）从表格中不难发现：每一年的年底的沙漠化面积比前一年增加0.2万公顷，第m年年底将比第一年年底扩大个0.2；
（2）年后，沙漠的面积=第n年年底的沙漠面积-改造的面积；
（3）把代入（2）中得出的代数式，然后计算比值即可．
【详解】（1）解：第m年年底的沙漠面积为万平方千米．
（2）第n年年底的沙漠面积为：
万平方千米．
（3）在（2）的条件下，当时，
，
，
即第90年年底，该地区沙漠面积占原有沙漠面积的．
【点睛】此题考查列代数式，理解题意，从题目中正确寻找规律．注意改造的时候是从5年后才开始改造．
19．
【分析】先求出，再利用正弦求出，然后求出，用余弦求出，再求出即可．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴，
故手机支撑点到水平面的距离为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，角的和差，线段的和差等知识点，解题关键是构造直三角形求解．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补，外角等于内对角是解题的关键；
（1）根据外角的性质可得，再根据圆内接四边形的性质即可得解；
（2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，进而可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)统计图见解析；4；4；
(2)次
(3)520名
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数，众数和平均数，用样本估计总体：
（1）利用活动次数为4次的学生的数量以及对应的百分比，即可得到抽取的学生数，进而求出活动次数为3次的学生数，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）用800乘以样本中参加志愿活动在4次及以上的学生人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，被随机抽取的学生共有：人，
∴活动次数为3次的学生数为：人，
补全统计图如下：
∵这组数据的中，次数为4出现的次数最多，
∴众数是4次，
将20个数中按从小到大排列，第10个和第11个都是4次，
∴中位数是4次；
（2）解：次，
∴被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数为次；
（3）解：名．
∴估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数约有520名．
22．(1)10
(2)
(3)；
(4)
【分析】（1）解三角形即可；
（2）由旋转的性质可知，，然后根据列方程求出即可解答；
（3）根据点在内部或边上、点在外部、两种情况分别求解即可；
（4）根据过顶点直线平分三角形面积可知，这条直线平分是三角形的一边的中线，据此画出图形求出即可解答．
【详解】（1）解：，在中，，，
∴，即：，
又∵在中，，
∴，
解得：，（负值已舍去），
故答案为：．
（2）当点落在上时，如图：

由旋转性质可知：，，
∴，
又∵，
∴，解得：，
∴（秒）
答：当点落在上时，的值为；
（3）当时，点在内部或边上，如图：

此时，与重合部分的面积为的面积，
∴，
当时，点在外，与交于点N，与交于点M，过点N做，垂足为H，如图：

此时，，
∴，
与重合部分的面积为四边形的面积，
∴，
由（2）可知：，
，
∴
综上所述：；
（4）当所在直线平分直线平分面积时，如图：

此时与交于点D，，
，
又∵，，
∴，解得：，
∴（秒）
当所在直线平分直线平分面积时，如图：

此时与交于点E，是中点；
∵，
∴，
，
又∵，，
∴，解得：，
∴（秒）
综上所述：当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，或
【点睛】本题是三角形综合题；考查了等腰直角三角形的性质、三角函数、分段函数、相似三角形、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属于中考压轴题．
23．(1)当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大
(2)这两个交点的横坐标为-1，1
(3)9
【分析】（1）根据二次函数的图象的性质回答即可；
（2）根据＝，化简求解即可得到答案；
（3）根据二次函数的最值及点的坐标特征求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当a＝1时，，
∴对称轴，
∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大．
（2）解：由题可知，
，
，
，
，
与的图象有两个交点，
，
这两个交点的横坐标为-1，1．
（3）解：当时，有最小值，此时，
，
，
，即，
，
当时，有最小值，此时，
，
，
，
，
，
，
，
或，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，整体思想以及一元二次方程的解法，掌握二次函数点的坐标特征及最值是解题的关键．

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