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2025-2026学年下学期九年级第一次月考数学试题
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．2024年6月6日14时48分，在距离地球约380000000米外的月球轨道上，颇具浪漫色彩的“太空牵手”再次上演，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接．数据380000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.1415926 B． C． D．
4．9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列整式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是福州市某地区3月日至日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（　　）
A．这五天中，温差最大的是3月号
B．这五天中，每日最高气温的中位数是
C．这五天中，每日最低气温的众数是
D．这五天中，每日最高气温的平均数为
7．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．已知二次函数，的图象经过点、，图象上有三个，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．时，y有最大值 D．
二、填空题
11．若二次根式有意义，则a的取值范围为______．
12．分解因式：______．
13．已知双曲线经过点，那么k的值等于 _______．
14．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______．
15．已知，且，则的值为________．
16．在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重______．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，点在边上，延长到点，使得，过点作，使，且、在的两侧，连接．求证：．
20．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
21．如图①，已知一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于和．
(1)求一次函数的解析式；
(2)如图②，在线段OA上取点C，将线段BC绕点C顺时针旋转90°至CH，点H恰好落在线段AB上，求点H的坐标．
22．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？
(2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？
23．已知实数a，b，c满足．
(1)求证：；
(2)若，且，求的值．
24．综合与实践
某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值；
(3)如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由．
25．如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，当的值最小时，求的长．
2025-2026学年下学期九年级九年级第一次月考
参考答案与试题解析
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C B C A A B
二、填空题
11． 12． 13． 14． 15．1 16.
三、解答题
17．
．
18．，
解：原式
，
代入得．
19．证明：，
，
．
又 ，
，
在和中，
．
20．(1)
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
21．(1)；
(2)或
（1）解：由题意得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）过点H作HD⊥OA
∴∠HDO=90°
由旋转可得:BC=CH,∠BCH=90°．
∵∠BOC=90°
∴∠CBO+∠BCO=90°，
∵∠BCO+∠HCA=90°
∴∠CBO=∠HCA.
∵∠BOC=∠HDC=90°，BC=CH
∴△BOC ≌ △CDH
∴OB=CD=2.
设 OC=AD=m
则 H(m+2, m)
将其代入直线AB
∴m = - (m+2)+2
m =
∴H( , )
22．(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个；
(2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球．
（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，解得
答：放入的大球为4个，放入的小球为6个．
（2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，变形为，
∵为正整数，为奇数，
∴当时，；当时，．
答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球．
23．(1)见解析
(2)1
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
24．(1)
(2)需要钢材长度的最大值为米；
(3)符合条件的灯的列数为或，理由见解析
（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为，
设抛物线解析式为,
把代入得到，，
解得，
∴；
（2）解：设，
则由已知及抛物线的对称性可知，，，，,，
∴，
米，米，
设搭建支架需要钢材的长度为米，
∴ ，
∵，
∴当时， 取得最大值为，
即需要钢材长度的最大值为米；
（3）符合条件的灯的列数为或，理由如下：
由已知可知，（米），米，
∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，
∴若顶部C处安装一列灯,则的两旁还可以各安装（列）
此时安装灯的列数为（列），
若顶部C处不安装灯,则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米，
此时安装灯的列数为（列），
综上可知， 符合条件的灯的列数为或
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）证明：，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，作于点，交于点,
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3）证明：由（1）得：，
，，
、B、C、D四点共圆，
，，
，
当最长时，最小，
此时为四边形外接圆的直径，
，
，
即，
，，
，
又，
设，，
则，
，
．

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