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2025～2026学年九年级下学期3月综评数学试题
一．选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在﹣4，0，1，2这四个数中，比﹣1小的数是（　　）
A．﹣4 B．0 C．1 D．2
2．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里
A．0.8×10﹣4 B．8×10﹣4 C．0.8×10﹣3 D．8×10﹣3
3．已知关于x的方程kx2﹣（2k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝57°，则∠1的度数是（　　）
A．57° B．23° C．33° D．13°
5．一个几何体，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个几何体可能是下面的（　　）
A．B． C． D．
6．反比例函数的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
7．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠AFB的度数为（　　）
A．75° B．72° C．70° D．60°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于P，Q两点，直线PQ分别交AB，AC于点D，E，连接CD，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C．AB＝2BC D．AC＝2CD
9．要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（　　）
A．3000 B．4000 C．6000 D．60000
10．按一定规律排列的单项式：x，，，…，第n个单项式为（　　）
A．xn B．
C． D．
11．已知△ABC与△DEF相似，∠A＝40°，∠D＝60°，那么∠C的度数可能是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
12．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
13．将多项式3x2﹣6x+3分解因式，下列结果正确的是（　　）
A．3（x2﹣2x） B．3x（x﹣2）
C．3（x2﹣2x+1） D．3（x﹣1）2
14．《九章算术》中记载一道题，大意为：如图，今有一门（矩形ABCD），高AB比宽BC多6尺8寸，门的对角线AC恰好为1丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸）．问门高、宽各是多少？设门高AB为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　）
A．（x﹣6.8）2﹣x2＝102 B．x2﹣（x+6.8）2＝102
C．x2+（x﹣6.8）2＝102 D．x2+（x+6.8）2＝102
15．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝5，E为CD边上的动点，连接AE，过点B作BF⊥AE分别交AD、AE于点F、G，下列说法中，正确的有（　　）个．
①DF的最小值为；
②AF+EC的最小值为；
③DG的最小值为；
④EF的最小值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
17．若的整数部分是a，小数部分是b，求a﹣b＝　 　 ．
18．计算的结果是 　 　 ．
19．如图①，将一个底面积为110cm2的圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面的中央．现用一个注水管沿大容器内壁匀速持续地注水，水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）的图象如图②所示，则注水速度为 　 　 cm3/s．
三．解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（6分）计算：|1|+20260﹣tan60°．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且BD＝BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是　 　 ；依据是　 　 ．
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由．
22．（8分）某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等．
（1）求足球和篮球的单价各是多少元；
（2）若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（8分）小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜；否则小亮获胜．
（1）转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是 　 　 ；
（2）请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
25．（8分）巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系xOy，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
（1）根据表中数据，直接写出h的值为　 　 ，跳水的最大高度为　 　 ；
（2）求满足的二次函数关系式；
（3）在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为d1；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：y＝﹣5x2+40x﹣68，记比赛当天入水点的水平距离为d2，判断d1与d2的大小关系，并说明理由．
26．（8分）【初步感知】
（1）如图1，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，点E在劣弧上，连接AE、BE、DE，在DE上取一点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：AE＝AF；
【拓展延伸】
（2）如图2，小军在电脑上画了一个Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝8．点P在边AB上，且，同时在AP上设置动点D，并设置如下程序：点D以点P为起点沿PA方向向终点A运动，随着点D的运动，关联点E在DC上运动，且始终保持∠BEC＝90°，以BE为边在右侧作等边△BEF感应区，求在点D运动的过程中，点F所经过的路径长．（结果保留π）
27．（8分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作DE∥BC交y轴于点E．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，当PF＝AF时，求PE的长；
（3）在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，则平面内是否存在一点G，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 A B B C D B B B A B C C D C B
二．填空题
16．x≥﹣1且x≠2．
17．．
18．．
19．165cm3/s．
三．解答题
20．解：|1|+20260﹣tan60°
＝11+1
＝1．
21．解：（1）添加的条件是∠BEA＝∠BDC，依据是ASA；
在△BEA和△BDC中，
，
∴△BEA≌△BDC（ASA），
即使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是∠BEA＝∠BDC，依据是ASA；
故答案为：∠BEA＝∠BDC，ASA；
（2）△DFA≌△EFC，理由如下：
∵△BEA≌△BDC，
∴∠DAF＝∠ECF，AB＝CB，
∵BD＝BE，
∴AB﹣BD＝CB﹣BE，即AD＝CE，
在△DFA和△EFC中，
，
∴△DFA≌△EFC（AAS）．
22．解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+25）元，
根据题意得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+25＝50+25＝75（元）．
答：足球的单价是50元，篮球的单价是75元；
（2）购买足球60个，篮球20个最省钱，理由如下：
设购买足球m个，则购买篮球（80﹣m）个，
根据题意得：m≤3（80﹣m），
解得：m≤60，
设学校购买足球和篮球的总费用为w元，则w＝50m+75（80﹣m），
即w＝﹣25m+6000，
∵﹣25＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝60时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣60＝20（个），
∴购买足球60个，篮球20个最省钱．
23．解：（1）转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
蓝1 蓝2 红
蓝 蓝，蓝1 蓝，蓝2 红，蓝
红1 红1，蓝1 红1，蓝2 红，红1
红2 红2，蓝1 红2，蓝1 红，红2
共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种，
小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
因此游戏不公平．
24．（1）证明：连接AC，BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HGF＝90°，
∵H、G分别是AD、DC的中点，
∴HG∥AC，HGAC，
∴∠HGF＝∠GNC，
∴∠GNC＝90°，
∵G，F分别是DC、BC的中点，
∴GF∥BD，GFBD，
∴∠GNC＝∠MOC＝90°，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG+FG＝11，
∴AC+BD＝22，
∵，
∴AC×BD＝20，
∵（AC+BD）2＝AC2+2×AC×BD+BD2，
∴AC2+BD2＝444，
∴，
∴AO2+BO2＝111，
∴AB2＝AO2+BO2＝111，
∴AB．
25．解：（1）根据表格得抛物线对称轴为，
∴设抛物线表达式为：y＝a（x﹣3.5）2+k（a≠0），
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
当y＝11.25时，则﹣5（h﹣3.5）2+11.25＝11.25，
解得h＝3.5，
∵抛物线开口向下，
∴跳水的最大高度为11.25m，
故答案为：3.5，11.25；
（2）由（1）即可得到二次函数关系式为y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
（3）在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为d1；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：y＝﹣5x2+40x﹣68则：
对于y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时，0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x1＝5，x2＝2（舍去），
∴d1＝5米，
对于y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时，﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴d1＜d2．
26．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，
∵，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：以BC为边在BC的右侧作等边三角形BCG，连接FG，如图，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝8，
∴AB＝2BC＝16，
∵，
∴BP＝4，
∵△BEF，△BCG为等边三角形，
∴∠EBF＝∠CBG＝60°，BE＝BF，BC＝BG，
∴∠EBC＝∠FBG，
∴△BEC≌△BFG（SAS），
∴∠BEC＝∠BFG，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BFG＝90°，
∴点F在以BG为直径的圆弧上运动，
当点D与点P重合时，点F在BC的中点上，
以BG为直径作出⊙O交BC于点H，连接OH，则点F的运动轨迹为，H为 起点，G为终点，
∵OH＝OB，∠CBG＝60°，
∴△OBH为等边三角形，
∴∠HOB＝60°，
∴∠GOH＝120°．
∵BG＝BC＝8，
∴OB＝OH＝4，
∴点F所经过的路径长为．
27．解：（1）中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴点C坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）；
（2）设，
∵PF⊥x，A（﹣2，0），
∴AF＝n+2，，
∵PF＝AF，
∴，
解得n＝2或n＝﹣2（舍去），
当n＝2时，，
∴P（2，﹣4），
设直线BC：y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，﹣4）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线BC：y＝x﹣4，
∵DE∥BC，
∴设DE：y＝x+m，
∵，
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴D（1，0），把D（1，0）代入y＝x+m，得0＝1+m，解得m＝﹣1，
∴y＝x﹣1，
∴E（0，﹣1），
∵P（2，﹣4），
∴；
（3）存在一点G，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形．点G的坐标为或G（6，3），
（i）当EP是矩形的边时，有两种情形：
①如图，四边形EQGP是矩形时，直线EP与x轴交于点H，
由（2）可知P（2，﹣4），代入y＝kx﹣1中，得，
∴直线PE的表达式为，
∴，
∴，
∵E（0，﹣1），
∴OE＝1，
∵∠HEO+∠OEQ＝90°，∠OHE+∠HEO＝90°，
∴∠OHE＝∠OEQ，
∵∠HOE＝∠EOQ＝90°，
∴△EOH∽△QOE，
∴，
∴OE2＝OH OQ，
即，
∴，
∴，
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向上平移1个单位得到点G，
∴，即；
②如图，四边形PEGQ是矩形时，
∵直线PE的表达式为，PQ⊥PE，
∴设直线PQ的表达式为，
将P（2，﹣4）代入，得，
∴直线PQ的表达式为，
令y＝0，得x＝8，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点E向右平移6个单位，向上平移4个单位得到点G，
∴G（0+6，﹣1+4），即G（6，3），
（ii）当EP是对角线时，设Q（x，0），
∵E（0，﹣1），P（2，﹣4），，
则QE2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，，
∵Q是直角顶点，
∴EP2+QP2＝PE2，即x2+1+（x﹣2）2+42＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点G坐标为或G（6，3）．

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