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2026年春学期学情检测试卷
九年级数学
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。所有试题均在答题卡上作答，否则无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。
1．的倒数值是（ ）
A． B． C． D．2026
2．手撕钢是一种超薄不锈精密带钢，具有良好的微观组织和性能．国产手撕钢的厚度仅有0.000015米，创造了新的世界纪录，广泛应用于航空航天、高端电子、新能源等．将数据0.000015用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现，下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，将三角尺的直角顶点放在直线a上，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．计算：（ ）
A．2a B． C． D．
6．已知一次函数的图象不经过第二象限，但过点，则b的值可能是（ ）
A． B．0 C．2 D．2026
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线OC，BD相交于点E．若，，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气，中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
9．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图（1），点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（），为y（单位：）．如图（2），y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．因式分解：________．
12．方程的解是________．
13．已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）．
14．如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点处，与AD相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则________cm．
15．如图，在中，，，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若，则图中阴影部分的面积为________．
16．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形ABCD拼成的一个大正方形EFGH．以EH为斜边在EH上方作，且，若小正方形ABCD的面积为16，大正方形EFGH的面积为26，则PE的长为________．
三、解答题：
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：
19．（6分）化简：．
20．（8分）如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点O为圆心，点A为上一点．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）根据（1）中画出的图形，过圆心O作BC边的垂线，分别交BC和于点E，F，若的半径为16cm，则EF的长为________cm．
21．（8分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．
（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是________．
（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
22．（9分）蒲陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆葡陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥，某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得和的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，，，）．
数据收集：实地测量地面上A、B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离，，．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：，，，，，0.根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23．（9分）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值：________，________；
（2）________队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明理由．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点，连接CD，点E是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点E的坐标．
25．（10分）如图，已知AB是的直径，AC是的弦，点D在外，延长DC，AB相交于点E，过点D作于点F，交AC于点G，．
（1）求证：DE是的切线；
（2）若的半径为6，点F为线段OA的中点，，求DF的长．
26．（12分）综合与实践：在数学综合实践课上，高老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
（1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形ABC内部一点，小颜发现：将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，则，请思考并证明；
（2）【类比探究】小渠进一步探究：如图2，点M为正方形ABCD内部一点，将BM绕点B逆时针旋转90°得到BN，连接CM并延长，交AN于点E．请写出EM、EN、EB的数量关系并证明．
（3）【拓展延伸】高老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是AB，AC上的动点，且，若，，，求的最小值．
27．（12分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点，D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图（1），连接BD，E是BD的中点，过点E作直线轴，垂足为G，交抛物线于点F，连接DF，求的面积．
（3）连接AC，点H为线段AC上一动点，点J在x轴上，在AC右侧作平行四边形AHIJ．
①当点J与点O重合时，请在图（2）中画出线段HI，IJ，若四边形AHIJ为菱形，试判断点I在抛物线的对称轴的左侧还是右侧，还是在抛物线的对称轴上，说明理由．
②如图（3），当点H为AC的中点时，连接DI，DJ，求周长的最小值．

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