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2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件，是古代建筑美学的体现．如图是一种斗形构件的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
4．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ）
A. B. C. D.
5．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，四边形内接于，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7．关于的反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A.其图像经过点
B.其图像位于第二、四象限
C.若其图像经过，则
D.其图像所在的每一个象限内，随着的增大而减小
8．如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
9．已知、均为锐角，且满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
10．下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（ ）
A.81 B.77 C.75 D.70
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．已知，则的值是_____．
12．有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是_____．
13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为_____．
14．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则平行四边形周长为_____．
15．如图，在中，，是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点，若，，则_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17．（6分）计算：
18．（8分）解下列方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标．
20．（9分）我国航天技术飞速发展，某校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21．（9分）如图，将绕点顺时针旋转90°得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
22．（10分）如图，为的直径，、为上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与相交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：．
23．（10分）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，试管倾斜角为，实验时，导管紧贴水面，延长交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求的长．（结果保留整数）（参考数据：）
24．（10分）材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元．
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件．
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售．任务一：建立函数模型
（1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围；
任务二：设计销售方案
（2）若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
25．（12分）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作，的垂线，分别交直线于点．
（1）数学思考：线段和的数量关系_____．
（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；
（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点为的中点时，请直接写出的面积．
26．（14分）如图1，抛物线过点，点，与轴交于点．点是抛物线一点，过点作直线轴，交轴于点，设的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图2，连接，连接交轴于点，交于点，连接，设的面积为的面积为，求的最大值．
（3）设函数在． 内最大值为，最小值为，若，直接写出的值．
2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题参考答案
考试时间：120分钟分值：150分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1－5：CCBBD 6－10：CDCAB
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.4 12. 13.1.8 14.15 15. 16．①③④
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17．解：（6分）
；
18．（8分）（1）解：，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
．
19．（8分）（1）解：把点代入得，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
点的坐标为，
把和点代入，
解得
一次函数的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
，
当点在第四象限时，的面积，
解得（不合题意舍去），
当点在第二象限时，的面积，解得（不合题意舍去），
综上所述，点的坐标为或．
20．（9分）（1）解：抽取总人数为（名），等级D的人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
（甲乙两人同时被选中）．
21．（9分）（1）证明：由旋转得，，且点恰好落在线段上，
，
，
．
（2）解：由旋转的性质可知，
，
在Rt中，．
22．（10分）（1）证明：连接，如图所示：
，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
为的切线；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
，即，
；
23．（10分）解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
在Rt中，，
则，
，
，
，
，
，
． ，
，
．
24．（10分）解：（1）由材料二可得，当销售单价为20元时，每天可以销售100件，销售单价每提高1元，日销量减少10件，
日销量，
由材料一可得，销售单价不低于20元，
由材料三可得，销售单价不能超过28元，且为正整数．
的取值范围为，且为正整数．
日销售利润，
关于的函数解析式为，且为正整数关于的函数解析式为，且为正整数；
（2）由题意得，当时，即，
整理得，即，
解得，
，
销售单价应定为21元或24元，
答：销售单价应定为21元或24元；
（3），
且为正整数，
当或时，最大，
当时，（元），
当时，（元），
最大利润为560元，
答：销售单价定为22元或23元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是560元．
25．（12分）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在Rt中，，
，
，
；
（3）解：过点作于于点，
为的中点，
，
，
，
，
，
同理：，
由（2）知，
，
，
，解得：，
．
26．（14分）（1）解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
故抛物线的表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为．
（2）解：设点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，则点的坐标为，
设四边形的面积为，
则；
则，
则，
，故有最大值．
当时，的最大值为．
（3）解：，
又，
当时，有最大值4，
函数在内最大值为，最小值为，
，
当时，当时，值最小，最小值为，
，
，
，
化简整理得：，
解得：（舍去），
当时，当时，值最小，最小值为，
，
，
，
解得：（舍去），
综上，的值为．2026年初三年级第一次诊断性测试数学答题卡
.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[A]
[B]
[B]
[B]
[8]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[B]
[c]
[c]
[c]
[c]
[c]
[c]
[c]
[c]
tc]
[c]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[o]
[D]
填空题（共6小题，每小题4分，
共24分)
12.
13.
14
15.
16.
三.」
解答题（共10小题，共96分）
17.(6分》
坏
18.(8分)解下列方程：
(1)(x4)2=9
(2)x2-3x-1=0
射
第1页共4页
19.(8分)
1)
C
20.(9分)
抽样成绩等级的条形统计图
抽样成绩等级的扇形统计图
人数
200
D
00
40
B
0
ABCD等级
21.(9分)
E
B
第2页共4页
22.(10分)
B
23.(10分)
高锰酸钾蓬松的棉花团
E
24.(10分)
第3页共4页
25.(12分)
A
A
0
B
图1
图2
备用图
26.(14分)
A O E
图
图2
第4页共4页

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