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隆昌市知行中学2026年春季学期初2026届第一次核心素养
数学试题参考答案及评分意见
本试卷分为A卷和B卷两部分。A卷满分100分；B卷满分60分。全卷满分160分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好。
2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。）
1、下列函数中，属于二次函数的是（ C ）
A、 B、 C、 D、
2、对于抛物线，下列说法错误的是（ C ）
A、对称轴是直线 B、顶点坐标是（3，2）
C、当时，y的最大值为2 D、当时，y随x的增大而减小
3、函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　C　）
(
y
x
B
O
-
1
y
x
A
O
1
y
x
D
O
-
1
y
x
C
O
1
)
4、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ D ）
A、 B、 C、 D、
(
O
B
第
4
题图
A
C
D
O
B
第
5
题图
A
C
D
E
O
B
第
8
题图
A
C
D
)
5、如图，在⊙O中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ B ）
A、②③④ B、①②③④ C、①②④ D、①②③
6、已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则AB和CD之间的距离是（ A ）
A、7cm或23cm B、14cm或46cm C、7cm D、23cm
7、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.5，直线l的解析式为，那么直线l与⊙O的位置关系是（ B ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、无法确定
8、如图，AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，于点D，于点E，连接DE、若，则DE的长为（　D　）
A、1 B、 C、1.7 D、
9、若（0，），（，），（，）是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ C ）
A、 B、 C、 D、
10、如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④.其中正确的结论个数是（ B ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
(
（
1
，
n
）
1
3
y
第
10
题图
x
2
0
4
A
B
C
D
O
y
第
12
题图
x
A
第
11
题图
D
B
O
F
C
E
)
11、如图，AB是⊙O的直径，等腰三角形ABC的底边BC、腰AC分别交⊙O于点D，E，其中弦.连接OD，DF，设度，度，则（ D ）
A、 B、 C、 D、
12、如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点、点D为直线BC上一点，且横坐标为6，将线段CD沿y轴上下平移，当线段CD与抛物线有唯一交点时，设平移后点C对应点的纵坐标为a，则a的取值范围为（ B ）
A、或 B、或
C、或 D、或
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为____ __；【答案】
14、抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________；【答案】
(
1
-1
O
y
第
14
题图
x
A
B
C
D
O
第
15
题图
E
A
B
C
D
O
第
15
题图
)
15、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若，则的度数为 ；【答案】
16、如图，AB是半圆的直径，半径于点O，AD平分，交于点D，连接CD，OD，下列结论：①；②∽；③；其中正确结论的序号是______.
【答案】③
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17、（本小题两个小题，每个小题4分满分8分）
（1）计算：
解原式
（2）解方程：
解：
∴
∴，
18、（本小题满分9分）已知，求的值。
解：∵
∴
原式
19、（本小题满分10分）如图，点A，B在抛物线上。已知点A，B的横坐标分别为，4，直线AB与y轴交于点C
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当二次函数值大于一次函数值时，求x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值。
（1）解：将代入得：
(
4
-
2
y
x
A
B
C
O
)∴A（，1）
将代入得：，
∴B（4，4）
设直线AB的函数解析式为
将点A（，1），B（4，4）代入得：，解得
∴直线AB的函数解析式为．
（2）当二次函数值大于一次函数值时，x的范围是：或
（3）解：将代入得：
∴C（0，2）
如图，作点C关于x轴的对称点（0，），连接，交x轴于点P
由轴对称的性质得：
∴
由两点之间线段最短可知，当点A、P、共线时，的值最小，即的值最小，最小值为
∴与x轴的交点P即为所求
设直线的函数解析式为
将点A（，1），（0，）代入得：
，解得
∴直线的函数解析式为
将代入得：，解得，
∴此时点P的坐标为，
综上，此时点P的坐标为，的最小值为．
20、（本小题满分8分）如图，已知⊙O是等腰的外接圆，且，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD
（1）求证：DA平分；
(
E
D
A
B
C
O
)（2）若，求的度数。
（1）∵四边形ABCD内接于⊙O
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴，即DA平分；
（2）由（1）得
∴
∴
∴的度数为72°．
21、（本小题满分10分）某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量y（单位：万包）和售价x（单位：元/包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如下表所示：
售价x/（元/包） 20 19 18
周销售量y/万包 70 90 110
（1）求出y与x的函数解析式；
（2）若该零食礼包的生产成本是10.5元/包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少？
（3）在（2）的条件下，该食品企业当前共有20条生产线，平均每条生产线每周生产零食礼包5.5万包，由于按目前的产能无法满足该周销售量，于是该企业决定对现有的生产线进行升级，升级后的每条生产线能达到每周生产7万包的产量，求至少升级多少条生产线才能达到在最大周销售利润时的周销售量？
（1）解：设
选取（20，70）和（19，90）代入解析式：
解得：
当 时，，与表格一致
因此， 函数解析式为∶
（2）设周销售利润为W元，
∴
∴时，W取最大值．最大值为845万元。
答：每包售价是17元时，周销售利润最大是845万元．
（3）当时，周销售量万包，利润最大时周销售量为130万包
设升级m条生产线，则
∴
∴m至少为14．
答：至少升级14条生产线才能达到在最大周销售利润时的周销售量．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22、如图，AB是⊙O的直径，，点C在⊙O上，，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则的最小值为______；【答案】
23、抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴的交点为C，若，则点A坐标为___________；【答案】或
24、如图，在四边形ABCD中，，，，则______；【答案】
25、如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD，过点E作交BD于点F，连接BE，取BE的中点为G，则GF的最小值为___________.【答案】
(
P
第
22
题图
D
A
B
C
O
E
第
24
题图
D
A
B
C
F
E
G
第
25
题图
D
A
B
C
)
二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分。解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26、如图，是圆内接三角形，且AB是圆的直径，的角平分线交⊙O于点D，交AB于点E，过点E作交AC，BD于点F，点G
（1）求证：∽；
（2）若的面积为15，，求AF；
（3）求证：
（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴
∵
∴
∴
∵
∴∽；
（2）解：如图1，连接OD，
(
E
F
G
O
D
A
B
C
)
∵，CD平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵的面积为15
∴
∴，
∴，
∴，
∵∽
∴
∴
∵
∴
∴（负值舍去）；
（3）证明：如图2，连接AG，
(
E
F
G
O
D
A
B
C
)
∵∽
∴
∵
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴点A，E，G，D四点共圆，
∴
∴
∴
∴是等腰三角形．
∵，
∴．
27、如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与x轴相交于点A（，0），与y轴相交于点C（0，）.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点D是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线的顶点，直线CE交x轴于点F，若点G是线段EF上的一个动点，是否存在以点O，F，G为顶点的三角形与相似。若存在，请写出点G的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解：将A（，0），C（0，）代入，
得，解得
∵抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴令，即，解得，
∴点B的坐标为（3，0）
设直线BC的解析式为
把B（3，0），C（0，）代入可得，
(
图
1
y
x
O
D
A
B
C
M
)解得
所以直线BC的解析式为，
设点D的坐标是
∵点D是直线BC下方抛物线上的动点
∴，
过点D作于点M，则，
∴
∴
∴当时，的面积最大值为
当时，；
（3）解：∵
∴
如图，连接OG
设EC的解析式为
(
G
F
图
2
y
x
O
E
A
B
C
)将 C（0，）、代入，
可得，解得
∴直线EC的解析式为，
令，即，解得
∴点F的坐标为（，0）
∴，且
∴
∴
设点
∵点G在线段EF上
∴
则
∵
分情况讨论：
①当∽时，有
∴
解得，满足，
则此时
此时点G的坐标为．
②当∽时，有，
∴，
解得，满足，
此时
此时点G的坐标为，
∴点G的坐标为或．
28、定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆。
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆。请判断⊙P是不是二次函数的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求周长的最小值；
（3）已知二次函数（）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2，若，求a的值。
（1）对于二次函数，
当时，；当时，解得或
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3）
∵点P（2，2），
∴
∴⊙P是二次函数的坐标圆。
（2）如图1，连接PH，
(
P
图
1
y
x
O
A
H
)
∵二次函数图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4）
∴周长
∴周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA
设二次函数图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F
由对称性知，对称轴l经过点P，且
∵
∴
∵，，C（0，4）
∴
(
D
B
C
P
图
2
y
x
O
A
l
E
)设，则，，
∵二次函数图像的对称轴l为
∴，即
在中，
∴
即
化简，得，解得
∴．隆昌市知行中学2026年春季学期初2026届第一次核心素养
数 学 试 题
本试卷分为A卷和B卷两部分。A卷满分100分；B卷满分60分。全卷满分160分，考试时间120分钟。
A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好。
2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。）
1、下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A、对称轴是直线 B、顶点坐标是（3，2）
C、当时，y的最大值为2 D、当时，y随x的增大而减小
3、函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
(
y
x
B
O
-
1
y
x
A
O
1
y
x
D
O
-
1
y
x
C
O
1
)
4、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A、 B、 C、 D、
(
O
B
第
4
题图
A
C
D
O
B
第
5
题图
A
C
D
E
O
B
第
8
题图
A
C
D
)
5、如图，在⊙O中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A、②③④ B、①②③④ C、①②④ D、①②③
6、已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则AB和CD之间的距离是（ ）
A、7cm或23cm B、14cm或46cm C、7cm D、23cm
7、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.5，直线l的解析式为，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、无法确定
8、如图，AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，于点D，于点E，连接DE、若，则DE的长为（　　）
A、1 B、 C、1.7 D、
9、若（0，），（，），（，）是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④.其中正确的结论个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
(
（
1
，
n
）
1
3
y
第
10
题图
x
2
0
4
A
B
C
D
O
y
第
12
题图
x
A
第
11
题图
D
B
O
F
C
E
)
11、如图，AB是⊙O的直径，等腰三角形ABC的底边BC、腰AC分别交⊙O于点D，E，其中弦.连接OD，DF，设度，度，则（ ）
A、 B、 C、 D、
12、如图，抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点、点D为直线BC上一点，且横坐标为6，将线段CD沿y轴上下平移，当线段CD与抛物线有唯一交点时，设平移后点C对应点的纵坐标为a，则a的取值范围为（ ）
A、或 B、或
C、或 D、或
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为____ __；
14、抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________；
(
1
-1
O
y
第
14
题图
x
A
B
C
D
O
第
15
题图
E
A
B
C
D
O
第
15
题图
)
15、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若，则的度数为 ；
16、如图，AB是半圆的直径，半径于点O，AD平分，交于点D，连接CD，OD，下列结论：①；②∽；③；其中正确结论的序号是______.
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17、（本小题两个小题，每个小题4分满分8分）
（1）计算：
（2）解方程：
18、（本小题满分9分）已知，求的值。
19、（本小题满分10分）如图，点A，B在抛物线上。已知点A，B的横坐标分别为，4，直线AB与y轴交于点C
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当二次函数值大于一次函数值时，求x的范围；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值。
(
4
-
2
y
x
A
B
C
O
)
20、（本小题满分8分）如图，已知⊙O是等腰的外接圆，且，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD
（1）求证：DA平分；
（2）若，求的度数。
(
E
D
A
B
C
O
)
21、（本小题满分10分）某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量y（单位：万包）和售价x（单位：元/包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如下表所示：
售价x/（元/包） 20 19 18
周销售量y/万包 70 90 110
（1）求出y与x的函数解析式；
（2）若该零食礼包的生产成本是10.5元/包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少？
（3）在（2）的条件下，该食品企业当前共有20条生产线，平均每条生产线每周生产零食礼包5.5万包，由于按目前的产能无法满足该周销售量，于是该企业决定对现有的生产线进行升级，升级后的每条生产线能达到每周生产7万包的产量，求至少升级多少条生产线才能达到在最大周销售利润时的周销售量？
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22、如图，AB是⊙O的直径，，点C在⊙O上，，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则的最小值为______；
(
P
第
22
题图
D
A
B
C
O
E
第
24
题图
D
A
B
C
F
E
G
第
25
题图
D
A
B
C
)
23、抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴的交点为C，若，则点A坐标为___________；
24、如图，在四边形ABCD中，，，，则______；
25、如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD，过点E作交BD于点F，连接BE，取BE的中点为G，则GF的最小值为___________.
二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分。解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26、如图，是圆内接三角形，且AB是圆的直径，的角平分线交⊙O于点D，交AB于点E，过点E作交AC，BD于点F，点G
（1）求证：∽；
（2）若的面积为15，，求AF；
(
E
F
G
O
D
A
B
C
)（3）求证：
27、如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与x轴相交于点A（，0），与y轴相交于点C（0，）.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点D是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
(
图
1
y
x
O
D
A
B
C
F
图
2
y
x
O
E
A
B
C
)（3）如图2，点E是抛物线的顶点，直线CE交x轴于点F，若点G是线段EF上的一个动点，是否存在以点O，F，G为顶点的三角形与相似。若存在，请写出点G的坐标；若不存在，请说明理由。
28、定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆。
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆。请判断⊙P是不是二次函数的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求周长的最小值；
（3）已知二次函数（）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2，若，求a的值。
(
P
图
1
y
x
O
A
D
B
C
P
图
2
y
x
O
A
)

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