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2025-2026 学年三月学情检测
数学学科 4.1
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 若 ，则
A. 1 B. -1 C. D.
2. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，
则
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，且 ，则
A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. -2 或 -3
4. 设向量 是两个不共线的单位向量
，则
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
5. 已知 ，则
A. B. C. D.
6. 为了测量河对岸一古树高度 （如图），某同学选取与树底 在同一水平面内
的两个观测点 与 ，测得 ，并在点 处测得树
顶 的仰角为 ，若树高 约为 米，则
1
A. 米 B. 米 C. D. 米
7. 设 的面积为 ，角 所对的边分别为 ，且
，若 ，则此三角形的形状为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8. 如图，在 中， ，点 为 上一点，且满足
，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 ，则
A. B.
C. D.
10.若向量 满足 ，则
A. 与 的夹角为 B.
C. D. 在 上的投影向量为
11.在 中，角 的对边分别为 ， 外接圆的半径为 2，
且 ，则下列结论正确的是
A. B.
C. 面积的最大值为
D. 若 ，角 的平分线交 于点 ，则
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则
________。
13.已知正方形 的边长为 2，且 为 边中点，则
________。
14.在菱形 中， ，点 在线段 上，则
的最小值为 ________。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知 。
(1) 若 与 垂直，求实数 的范围；
(2) 若 与 夹角为锐角，求实数 的取值范围。
16.已知 ，其中 。
(1) 求 的值；
(2) 求 的值。
17.在 中，内角 的对边分别为 ，且
。
(1) 求角 ；
(2) 若 的面积为 ，求边 上的高。
3
18.已知梯形 中， 为线段 的中点，且线段
与 的交点为 ，设 。
(1) 用 表示 ；
(2) 求 的值；
(3) 若 ，点 在线段 上运动，设 ，
求 的取值范围。
19.如图，在 中， ， 为边 上一点且
。
(1) 若 ：
(i) 求 ；
(ii) 求 的面积；
(2) 求 的取值范围。
4数学参考答案
一、单项选择题
1. A
2. D
3. C
4. B
5. C
6. C
7. B
8. D
二、多项选择题
1. ABCD
2. BD
3. ABCD
三、填空题
1.
2.
3.
四、解答题
15.解答：
已知 ，则：
，
。
(1)若两向量垂直，则它们的数量积为 0：
1
，解得 ，即 。
(2)若两向量夹角为锐角，则数量积大于 0，且两向量不共线：
首先，数量积大于 0： ，解得 ；
其次，两向量不共线： ，解得 。
因此，实数 的取值范围为 。
16.解答：
已知 ，则 ；
，则 。
(1)计算 ：
，
。
又 ，因此 。
(2)计算 ：
由二倍角公式， ， 。
因此， 。
17.解答：
(1)求角 ：
由正弦定理，将条件 边化角得：
，
2
又 ，代入化简得：
，即 ，解得 。
(2)求边 上的高：
由面积公式 ，得 ；
又 ，结合余弦定理 ，解得 ，即
为等边三角形。
因此，边 上的高为 。
18.解答：
(1)用 表示 ：
由题意， ，则 。
为 中点，故 ，
因此 。
(2)求 ：
设 ，结合向量共线的系数关系，解得 ，
因此 。
(3)求 的取值范围：
由 ，结合坐标运算化简得：
，其中 ，该函数在区间上单调递减，
因此取值范围为 。
3
19.解答：
(1)若 ：
(i)由题意， ，在 中，由正弦定理得 。
(ii) 的面积为 。
(2)求 的取值范围：
设 ，则 ，化简得：
，结合 ，
因此取值范围为 。
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