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九下第五周 一次函数与反比例函数
【知识梳理】
1.图象分析问题
①明确x轴、y轴的实际含义
②弄清每一段函数的实际含义
③关注拐点:拐点的实际含义、拐点的坐标
④对于行程问题，必要时可以画线段图
特别地倾斜程度可以代表
【提醒】
1.常见的一次函数实际应用问题图象信息类、购买或消费方案类、获利方案类、调运方案类等.
2.利用一次函数解决实际问题，也就是把实际问题转化为数学问题，在解题过程中，体会建模、化归、数形结合、分类讨论等数学思想.
【注意】在一次函数的实际应用中，自变量的取值范围会受一些实际条件的限制，所以在解题过程中，需要先考虑使自变量有意义的实际条件.
【考点1．函数的图象】
1．（2025秋 南京月考）已知一次函数y＝k（x﹣3）+1图象与一圆心为（0，1），半径为1的圆相切，则切点坐标为　 　 ．
2．（2022 西宁）如图，△ABC中，BC＝6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．C．D．
3．（2024 鼓楼区校级三模）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 　 　 ．
4．（2026 南京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，5）．
（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）直接写出点C的坐标为　 　 ；（3）点P在x轴上，PB+PC的最小值为　 　 ．
5．（2025 南京模拟）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换，一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x，转化后的分数记为y．满足y＝a+bx其中b＞0，装换后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是　 　 ．
6．（2024 鼓楼区校级模拟）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．10s时，两架无人机的高度差为 　 　 m．
第6题 第7题 第8题
7．（2022 苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　 　 ．
8．（2026 南京一模）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为xh，甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y（km）关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是　 　 km/h，乙的速度是　 　 km/h；
（2）分别求出S甲、S乙与x的函数关系式；
（3）对比图1，图2可知：a＝　 　 b＝　 　 ；c＝　 　 ；
（4）乙出发　 　 小时，甲、乙两人相距10km．
9．（2024 南京模拟）4×100米接力赛是学校运动会最精彩的项目之一，如图所示，图中的实线和虚线分别是初（1）班、初三（2）班代表队在比赛时运动员所跑的路程y（米）与所用时间x（秒）的函数图象（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）．请解答下列问题：
（1）直接判断：初三（2）班跑得最快的是第几棒运动员？
（2）发令后多长时间两班运动员第一次并列？
10．（2020 南京二模）某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 　 　 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
【考点1.行程类问题】
1．（2022 玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 　 　 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
2．（2025 栖霞区校级三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多90℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温y1，y2（单位：℃）与测试时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）当测试时间为100min时，乙壶中的水温是 　 　 ℃．
（2）求甲壶中的水温y1与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两个保温壶的温差不超过10℃时，直接写出x的取值范围．
3．（2025 鼓楼区二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以80km/h的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以120km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留0.5h后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为th，货车与南京的距离y1km，轿车与南京的距离y2km．
（1）在图2中，分别画出和补全y1、y2关于t的函数图象；
（2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；
（3）若镇江距离南京90km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．
【考点2.一次函数图像】
4．（2025秋 鼓楼区校级期末）函数的学习需要着重于函数图象的变化…
基于一次函数图象的研究经验，现对函数y＝|kx﹣4|+x的图象与性质进行了探究：
【“从‘1’开始”】
（1）若k＝1，函数即为y＝|x﹣4|+x．
（Ⅰ）当x≥4时，y＝|x﹣4|+x＝2x﹣4；当x＜4时，y＝|x﹣4|+x＝　 　 ．
（Ⅱ）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣4|+x的图象，并写出该函数一条性质．
【“从‘1’到一切”】
（2）继续研究当k取不同值时，函数y＝|kx﹣4|+x的图象变化．
（Ⅰ）不论k取何值，函数图象始终过定点A，定点A的坐标为　 　 ．
（Ⅱ）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是　 　 ．
【迁移应用】
（3）直接写出关于x的方程|kx﹣4|+x＝2（k为常数）解的个数及对应k的取值范围．
5．（2025秋 鼓楼区校级期末）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知点A（﹣1，2），点B（3，3）．
【初步理解】
（1）d（A，B）＝　 　 ．
（2）函数y＝﹣x+3（0≤x≤3）的图象如图①所示，P是图象上一点，d（P，A）　 　 定值，d（P，B）　 　 定值（两空均选填“是”或“不是”）．
【深入理解】
（3）在图②中画出使d（Q，B）＝3的所有点Q围成的图形．
（4）函数y＝kx﹣k+6（k为常数）．
①当k＝﹣3时，若点M是这个函数的图象上一动点，则使d（M，B）≤3的所有点M构成的线段长度为　 　 ；
②若这个函数的图象上存在点N使d（N，B）≤3，直接写出k的取值范围．
【实际运用】
（5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？
（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
6．（2025秋 鼓楼区期末）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，∠C＝30°，点E从B出发沿着“B→C→D”匀速运动，到D停止．△ABE的面积S随点E运动的路程x变化的部分函数图象如图②所示：
（1）点A到BC的距离是　 　 ；
（2）求△ABE的面积S关于点E运动路程x的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围；
（3）在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）．
【及时巩固】
1．（2025 南京）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB＝8m，AD＝5m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开．
（1）写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积．
2．（2025 秦淮区二模）A，B两地相距akm，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地B，A，已知乙列车的速度是甲列车速度的1.5倍．乙列车离A地的距离y（km）与甲列车出发时间x（h）之间的函数图象如图所示，其中线段PQ∥x轴．
（1）在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离y（km）与x之间的函数图象；
（2）当甲、乙两辆列车相距akm时，求x的值．
【考点3.反比例函数】
1．（2025春 南京校级月考）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 南京）已知反比例函数，则当1≤x≤3时，的最小值是　 　 ．
3．（2015 南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1，则y2与x的函数表达式是　 　 ．
4．（2026 鼓楼区一模）如图，双曲线y（x＞0）．
（1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由；
（2）点P在该函数图象上，连结OP．
①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式；
②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式．
5．（2024 建邺区校级二模）已知函数（k是常数，k≠0），函数．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2）．
①求k，n的值．
②当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（2）若点C（8，m）在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求m的值．
6．（2024 南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
【巩固练习】
1．（2025 南京二模）同一直道上的A，B两地相距320km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离A地的距离y1，y2（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度是 　 　 km/h，a＝ 　 　 ．
（2）求乙车休息的时间．
（3）丙车与甲车同时出发，以100km/h的速度从A地匀速驶往B地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第th时开始休息，直接写出t的取值范围．
2．（2025 鼓楼区校级三模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以a（m/s）的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度y（m）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．
（1）求a，b的值．
（2）求无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式．
（3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值．
3．（2025 玄武区一模）一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②．
（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为 　 　 升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为 　 　 升/分钟；
（2）求线段AB的函数表达式，并写出点A的实际意义；
（3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为 　 　 ．
4．（2025 浦口区校级模拟）一支队伍以vm/min匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以2vm/min的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第tmin与排尾的距离为sm．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示．
（1）在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象；
（2）若队伍长12m，求传令兵从排头回到排尾所走的路程．
5．（2025 鼓楼区校级模拟）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）图中t＝　 　 min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是 　 　 m/min；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值．
6．（2024 南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，2），（﹣1，﹣3）．一次函数y＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象与线段AB交于点C．
（1）若点C与点B重合，求k的值．
（2）若，在图中只用直尺作出点C．
（3）若AC＝mAB（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式．
B．
C．
D．
【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知：，
即EF＝2（3﹣x）
所以y2（3﹣x）x＝﹣x2+3x＝﹣（x）2．
∴y与x的关系式为：y＝﹣（x）2．
纵观各选项，只有（A）选项图象符合．
故选：A．
3．（2024 鼓楼区校级三模）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 x＞3　 ．
【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（2，0），k＞0，
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴不等式可化为：2kx﹣6k＞0，
解得x＞3，
故答案为：x＞3．
4．（2026 南京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，5）．
（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）直接写出点C的坐标为　（6，3）　 ；
（3）点P在x轴上，PB+PC的最小值为　10　 ．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴C点在AB的线段垂直平分线上，
作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为C；
（2）∵A（0，1）、B（0，5），
∴C点坐标为3，
∴C（6，3），
故答案为：（6，3）；
（3）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'交x轴于点P，连接CP，
∴CP＝CP'，
∴PB+PC＝PB+PC'≥BC'，
∵C（6，3），
∴C'（6，﹣3），
∴BC'＝10，
∴PB+PC的最小值为10，
故答案为：10．
5．（2025 南京模拟）为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换，一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x，转化后的分数记为y．满足y＝a+bx其中b＞0，装换后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是　79　 ．
【解答】解：由题意可得：
，
解得，
∴，
当x＝80时，．
故答案为：79．
6．（2024 鼓楼区校级模拟）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．10s时，两架无人机的高度差为 　20　 m．
【解答】解：设甲无人机所在的位置距离地面的高度y甲与无人机上升的时间x之间的函数关系为y甲＝k1x，
∵当x＝5时，y甲＝40，
∴5k1＝40，解得k1＝8，
∴y甲＝8x；
设乙无人机所在的位置距离地面的高度y乙与无人机上升的时间x之间的函数关系为y乙＝k2x+b，
∵当x＝0时，y乙＝20；当x＝5时，y乙＝40，
∴，解得，
∴y乙＝4x+20；
当x＝10时，y甲＝8×10＝80，y乙＝4×10+20＝60，
80﹣60＝20（m），
∴10s时，两架无人机的高度差为20m，
故答案为：20．
7．（2022 苏州）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　　 ．
【解答】解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80﹣5x＝20，
∴x＝12，
∵8分钟后的放水时间，8，
∴a，
故答案为：．
8．（2026 南京一模）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为xh，甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y（km）关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：
【解答】解：（1）由图象可知，初三（2）班第一棒运动员100米用时12秒，第二棒运动员100米用时13秒，第三棒、第四棒运动员100米分别用时16秒、14秒，所以第一棒的运动员跑得最快．
（2）设其解析式为y1＝k1x+b1；由条件可得，
解得：，.即．
设其解析式为y2＝k2x+b2，得，
解得：，，
即．
当y1＝y2时，，
解得x＝37．
即发令37秒后两班运动员第一次并列．
10．（2020 南京二模）某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 　一次函数　 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由表可知，x的值每增加10元时，y的值均减小20件，
据此可知y与x的函数关系为一次函数，
设该一次函数为y＝k x+b，
代入（60，280）和（70，260），
得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+400，
将（80，240），（90，220）代入上式等式成立；
故答案为：一次函数．
（2）设月利润为w元，
则w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝120时，w有最大值12800，
答：当售价定为120元时，利润最大，最大值为12800元．
【考点1.行程类问题】
1．（2022 玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 　　 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，
∴慢车的速度为：10÷20（km/min），
故答案为：；
（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为yx+20（20≤x≤30）；
（3）快车的速度为：1（km/min），
快车追上慢车时：x﹣2030，
解得：x＝35，
此时，两车距离A地：3015（km），
快车到达B地的时间为：35+（40﹣15）÷1＝60（min），慢车到达B地的时间为：35+（40﹣15）85（min），
快车到达B地时两车的距离为：（40﹣15）÷1×（1）＝12.5（km），
补全图象如下：
2．（2025 栖霞区校级三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多90℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温y1，y2（单位：℃）与测试时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）当测试时间为100min时，乙壶中的水温是 　80　 ℃．
（2）求甲壶中的水温y1与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两个保温壶的温差不超过10℃时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）乙壶中的水的温度每分钟下降（90﹣60）÷300＝0.1（℃），
则当测试时间为100min时，乙壶中的水温是90﹣0.1×100＝80（℃）．
故答案为：80．
（2）甲壶中的水的温度每分钟下降（90﹣45）÷300＝0.15（℃），
∴甲壶中的水温y1与x之间的函数关系式为y1＝﹣0.15x+90（0≤x≤300）．
（3）乙壶中的水温y2与x之间的函数关系式为y2＝﹣0.1x+90，
当y2﹣y1≤10时，得﹣0.1x+90﹣（﹣0.15x+90）≤10，
解得x≤200，
∴x的取值范围为0≤x≤200．
3．（2025 鼓楼区二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以80km/h的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以120km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留0.5h后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为th，货车与南京的距离y1km，轿车与南京的距离y2km．
（1）在图2中，分别画出和补全y1、y2关于t的函数图象；
（2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；
（3）若镇江距离南京90km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．
【解答】解：（1）画出和补全y1、y2关于t的函数图象如图所示：
（2）苏州到上海的距离为12080（km），
设南京到上海的距离为xkm，
根据题意，得，
解得x＝280．
∴南京到上海的距离280km．
（3）货车经过镇江时的时间为90÷80（h），
轿车经过镇江时的时间为（280﹣90）÷120（h），
（h）．
答：货车和轿车经过镇江的时间间隔为h．
【考点2.一次函数图像】
4．（2025秋 鼓楼区校级期末）函数的学习需要着重于函数图象的变化…
基于一次函数图象的研究经验，现对函数y＝|kx﹣4|+x的图象与性质进行了探究：
【“从‘1’开始”】
（1）若k＝1，函数即为y＝|x﹣4|+x．
（Ⅰ）当x≥4时，y＝|x﹣4|+x＝2x﹣4；当x＜4时，y＝|x﹣4|+x＝　4　 ．
（Ⅱ）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣4|+x的图象，并写出该函数一条性质．
【“从‘1’到一切”】
（2）继续研究当k取不同值时，函数y＝|kx﹣4|+x的图象变化．
（Ⅰ）不论k取何值，函数图象始终过定点A，定点A的坐标为　（0，4）　 ．
（Ⅱ）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是k≤﹣2或k＞1　 ．
【迁移应用】
（3）直接写出关于x的方程|kx﹣4|+x＝2（k为常数）解的个数及对应k的取值范围．
【解答】解：（1）（Ⅰ）当x＜4时，判断绝对值内式子x﹣4的符号，此时x﹣4＜0，
根据绝对值定义，负数绝对值是其相反数，故|x﹣4|＝4﹣x，
代入原式y＝|x﹣4|+x，化简得y＝（4﹣x）+x＝4．
故答案为：4；
（1）（Ⅱ）分析函数分段表达式：x≥4时y＝2x﹣4（斜率为正的一次函数，递增），x＜4时y＝4（常数函数），
观察两段函数值，x＜4时y恒为4，x≥4时y随x增大从4开始递增，
故图像为：；
总结性质，如函数最小值为4；
（2）（Ⅰ）要找到函数y＝|kx﹣4|+x不论k取何值都过的定点，需使表达式中含k的项系数为零，
当x＝0时，绝对值内为﹣4，绝对值为4，故y＝4+0＝4，与k无关，
因此定点A的坐标为（0，4）．
故答案为：（0，4）；
（Ⅱ）当x＜﹣2时，需分析绝对值内表达式kx﹣4的符号，化简函数后求斜率小于零的条件：
若k＞0，则kx﹣4＜0（因x＜﹣2，kx＜﹣2k＜0），函数化简为y＝（1﹣k）x+4，要求斜率1﹣k＜0，得k＞1；
若k＝0，函数为y＝4+x，斜率为1＞0，单调递增，不符合；
若k＜0，进一步分情况：
当k≤﹣2时，2，故x＜﹣2，此时kx﹣4≥0，函数化简为y＝（k+1）x﹣4，要求斜率k+1＜0，得k＜﹣1，而k≤﹣2满足此条件；
当﹣2＜k＜0时，2，x＜﹣2区间内kx﹣4符号变化，函数分段后斜率不全为负，不满足单调递减．
综上，k的取值范围为k≤﹣2或k＞1．
故答案为：k≤﹣2或k＞1；
（3）首先，将原方程变形为|kx﹣4|＝2﹣x，右边2﹣x≥0得x≤2．分两种情况讨论：
当kx﹣4≥0（即kx≥4）时，方程化为（k+1）x＝6：
若k≠﹣1，解为，需满足kx≥4且x≤2．
化简kx≥4得，解得k≥2或k＜﹣1；
化简x≤2得：当k＞﹣1时k≥2，当k＜﹣1时恒成立．
故当k＜﹣1或k≥2时，此情况有解；
当kx﹣4＜0（即kx＜4）时，方程化为（1﹣k）x＝﹣2：
若k≠1，解为，需满足kx＜4且x≤2．
化简kx＜4得，解得k＞2或k＜1；
化简x≤2得：当k＞1时k≥2，当k＜1时恒成立．
故当k＜1或k≥2时，此情况有解．
综合各区间分析：
k＜﹣1：两种情况均有解，且解不同，共2个解；
k＝﹣1：第一种情况无解，第二种情况有1个解；
﹣1＜k＜1：第一种情况无解，第二种情况有1个解；
k＝1：两种情况均无解；
1＜k＜2：两种情况均无解；
k＝2：第一种情况有1个解，第二种情况解无效，共1个解；
k＞2：两种情况均有解，且解不同，共2个解．
综上：
当k＜﹣1或k＞2时，方程有2个解；
当﹣1≤k＜1或k＝2时，方程有1个解；
当1≤k＜2时，方程有0个解．
5．（2025秋 鼓楼区校级期末）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知点A（﹣1，2），点B（3，3）．
【初步理解】
（1）d（A，B）＝　5　 ．
（2）函数y＝﹣x+3（0≤x≤3）的图象如图①所示，P是图象上一点，d（P，A）　是　 定值，d（P，B）　是　 定值（两空均选填“是”或“不是”）．
【深入理解】
（3）在图②中画出使d（Q，B）＝3的所有点Q围成的图形．
（4）函数y＝kx﹣k+6（k为常数）．
①当k＝﹣3时，若点M是这个函数的图象上一动点，则使d（M，B）≤3的所有点M构成的线段长度为　3　 ；
②若这个函数的图象上存在点N使d（N，B）≤3，直接写出k的取值范围．
【实际运用】
（5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？
（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【解答】解：（1）d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|﹣1﹣3|+|2﹣3|＝5；
故答案为：5；
（2）设P（m，﹣m+3），且0≤m≤3，
则d（P，A）＝|m+1|+|﹣m+3﹣2|＝m+1﹣m+3＝4，是定值；
d（P，B）＝|m﹣3|+|﹣m+3﹣3|＝3﹣m+m＝3；是定值；
故答案为：是，是；
（3）根据新定义并结合（2）可知：使d（Q，B）＝3的所有点Q围成的图形为正方形EFMN，如图所示；
解得k＝3，
此时由图象可知当k≥3，均符合题意；
综上，k≤0或k≥3；
（5）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
6．（2025秋 鼓楼区期末）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，∠C＝30°，点E从B出发沿着“B→C→D”匀速运动，到D停止．△ABE的面积S随点E运动的路程x变化的部分函数图象如图②所示：
（1）点A到BC的距离是　3　 ；
（2）求△ABE的面积S关于点E运动路程x的函数表达式，并写出对应的自变量取值范围；
（3）在图②中画出剩余的函数图象（标出必要的数据）．
【解答】解：（1）设点A到BC的距离为h，
根据题意得S8h＝12，
∴h＝3，
答点A到BC的距离为3，
故答案为：3；
（2）如图，过D作DH⊥BC于H，
则DH＝3，∠DHC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2DH＝6，
当0＜x≤8时，SBE DH3xx；
当8＜x≤14时，如图，过E作EM⊥BC于M，延长ME交AD的延长线于N，
则MN⊥AD，
∵∠C＝30°，CE＝x﹣8，
∴EMx﹣4，
∴EN＝3﹣（x﹣4）＝7x，
∴S（AD+BC） MNAD ENBC EM（2+8）×32×（7x）8×（x﹣4）x+24，
综上所述，S；
（3）函数图象如图所示．
【及时巩固】
1．（2025 南京）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB＝8m，AD＝5m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开．
（1）写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式；
（2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积．
【解答】解：（1）如图1，当0≤t≤4时，S＝S△APDAP×AD2t×5＝5t，
如图2，当4＜t≤6.5时，S＝5×88×（13﹣2t）＝8t﹣12；
综上，S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式为：S；
（2）S10，
当5t＝10时，t＝2，
S＝8（3+2）﹣12＝28，
当8t﹣12＝10时，t4（不符合题意），
答：播放结束时展开的画面面积是28m2．
2．（2025 秦淮区二模）A，B两地相距akm，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地B，A，已知乙列车的速度是甲列车速度的1.5倍．乙列车离A地的距离y（km）与甲列车出发时间x（h）之间的函数图象如图所示，其中线段PQ∥x轴．
（1）在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离y（km）与x之间的函数图象；
（2）当甲、乙两辆列车相距akm时，求x的值．
【解答】解：（1）设甲列车的速度为v甲，乙列车的速度为v乙，则v乙＝1.5v甲，
根据图象，乙列车的速度为v乙（km/h），
根据题意，得1.5v甲，
解得v甲，
甲列车到达B地所用时间为6（h），
∴甲列车离A地的距离y（km）与x之间的函数图象如图所示：
（2）甲列车离A地的距离y与x之间的函数关系式为yx（0≤x≤6），
当1≤x≤5时，乙列车离A地的距离y与x之间的函数关系式为y＝a（x﹣1）xa，
当0≤x＜1时，当甲、乙两辆列车相距akm时，得axa，
解得x＝3（舍去），
当1≤x≤5时，当甲、乙两辆列车相距akm时，得|xax|a，
解得x或，
∴当甲、乙两辆列车相距akm时，x的值为或．
【考点3.反比例函数】
1．（2025春 南京校级月考）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，
由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），
∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，
∴方程x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
2．（2025 南京）已知反比例函数，则当1≤x≤3时，的最小值是　　 ．
【解答】解：将反比例函数代入中，
可得：y，
∵1≤x≤3，
当x增大时，x2也随之增大，则随之减小，
因此，在x＝3时取得最小值，代入计算，
得，
故答案为：．
3．（2026 鼓楼区一模）如图，双曲线y（x＞0）．
（1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由；
（2）点P在该函数图象上，连结OP．
①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式；
②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式．
【解答】解：（1）点A（1，3）在这个函数的图象上，
理由：把x＝1代入y得y＝3，
故点A（1，3）在这个函数的图象上；
（2）设P（a，b），
∵点P在该函数图象上，
∴ab＝3，
①将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，
∴M（a，﹣b），
设经过点M的双曲线的表达式为y，
∴m＝﹣ab＝﹣3，
∴经过点M的双曲线的表达式为y；
②∵将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，
∴∠PON＝90°，ON＝OP，
∴∠NOE+∠POE＝∠POE+∠POF＝90°，
∴∠NOE＝∠POF，
过P作PF⊥x轴于F，过N作NE⊥y轴于E，
∴∠NEO＝∠OFP＝90°，
∴△NOE≌△POF（AAS），
∴NE＝PF＝b，OE＝OF＝a，
∴N（﹣b，a），
设经过点N的双曲线的表达式为y，
∴n＝﹣ab＝﹣3，
∴经过点N的双曲线的表达式为y．
4．（2015 南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1，则y2与x的函数表达式是y2　 ．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A在反比例函数y1上，
∴设A（a，），
∴OC＝a，AC，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴，
∵A为OB的中点，
∴，
∴BD＝2AC，OD＝2OC＝2a，
∴B（2a，），
设y2，
∴k＝2a 4，
∴y2与x的函数表达式是：y2．
故答案为：y2．
5．（2024 建邺区校级二模）已知函数（k是常数，k≠0），函数．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2）．
①求k，n的值．
②当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
（2）若点C（8，m）在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求m的值．
【解答】解：（1）①∵函数y1和函数y2的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2），
∴k＝2×6＝4×（n﹣2），解得：k＝12，n＝5．
②由①可知，反比例函数解析式为y，图象分布在第一、三象限，A（2，6），B（4，3）
∴y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜2或x＞4．
（2）∵点C（8，m）在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，
∴D（5，m﹣1），
∵D恰好落在函数y1图象上，
∴5（m﹣1）＝8m，解得m．
6．（2024 南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴3
∴m＝3．
∴反比例函数的表达式为y．
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）．
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）令y＝0，∴x﹣2＝0，x＝2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．
∵S△ABP＝3，
PC×1PC×2＝3．
∴PC＝2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．
【巩固练习】
1．（2025 南京二模）同一直道上的A，B两地相距320km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离A地的距离y1，y2（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度是 　80　 km/h，a＝ 　144　 ．
（2）求乙车休息的时间．
（3）丙车与甲车同时出发，以100km/h的速度从A地匀速驶往B地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第th时开始休息，直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）甲车的速度是320÷4＝80（km/h），
当x＝1.8时，y＝80×1.8＝144，
（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为 　100　 升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为 　1500　 升/分钟；
（2）求线段AB的函数表达式，并写出点A的实际意义；
（3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为 　144　 ．
【解答】解：（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（24000﹣18000）÷60＝100（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为1600﹣100＝1500（升）．
故答案为：100，1500．
（2）18000+1500×2＝21000（升），
∴A（62，21000），
21000﹣100×（120﹣62）＝15200（升），
∴B（120，15200），
设线段AB的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标A（62，21000）和B（120，15200）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段AB的函数表达式为y＝﹣100x+27200（62≤x≤120），点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）当x＝120时，y＝﹣100×120+27200＝15200，
当x＝122时，y＝15200+（1600﹣100）×2＝18200，
当x＝182时，y＝18200﹣100×（180﹣122）＝12400，
当x＝184时，y＝12200+（1600﹣100）×2＝15200＜16000，
则18200﹣100（x﹣122）≥16000，
解得x≥144．
故答案为：144．
4．（2025 浦口区校级模拟）一支队伍以vm/min匀速前进，排尾的传令兵因传达命令，以2vm/min的速度赶赴排头，到达排头后立即原速返回．假设传令兵第tmin与排尾的距离为sm．传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数图象如图所示．
（1）在图中画出传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象；
（2）若队伍长12m，求传令兵从排头回到排尾所走的路程．
【解答】解：（1）传令兵从排尾赶赴排头的过程中，s与t之间的函数关系式为s＝vt，
当t＝a时，得s＝va，
∴队伍的长度为va，
传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数关系式为s＝va﹣3v（t﹣a）＝﹣3vt+4va，
当t＝a时，s＝﹣3va+4va＝va；
当s＝0时，得﹣3vt+4va＝0，解得t；
作传令兵从排头返回排尾的过程中s与t之间的函数图象如图所示：
（2）根据题意，得va＝12，
2v（a）12＝8（m）．
答：传令兵从排头回到排尾所走的路程是8m．
5．（2025 鼓楼区校级模拟）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）图中t＝　2　 min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是 　10　 m/min；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值．
【解答】解：（1）在OA段，乙每分钟走的路程为15÷1＝15米/分，
则t＝30÷15＝2，
故答案为：2；
（2）①乙提速后的速度为：（300﹣30）÷（11﹣2）＝30米/分，
∴甲的速度为：30÷3＝10m/min，
故答案为：10；
②甲登山用的时间为：（300﹣100）÷10＝20（分钟），
设甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式是：
y＝10x+100；
③设乙在AB段对应的函数解析式为y＝mx+n，
，得，
∴y＝30x﹣30，
∴|30x﹣30﹣（10x+100）|＝50（2＜x≤11），
解得，x＝4或 x＝9，
当11＜x≤20时，300﹣（10x+100）＝50，
解得x＝15，
综上所述，当x的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50．
6．（2024 南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，2），（﹣1，﹣3）．一次函数y＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象与线段AB交于点C．
（1）若点C与点B重合，求k的值．
（2）若，在图中只用直尺作出点C．
（3）若AC＝mAB（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式．
【解答】解：（1）若C与B重合，则C（﹣1，﹣3），
把C（﹣1，﹣3）代入y＝kx+2得：
﹣3＝﹣k+2，
解得k＝5；
（2）如图1所示，C点即为所求．
（3）（或者）；理由如下：
如图2，过B点作BD⊥y轴，过A点作AD⊥x轴．BD、AD相交于D点，过C点作CE⊥AD于E点，
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